Démonstration de la relation explicite de définition d’une suite arithmétique
Par définition d’une suite arithmétique, nous avons respectivement entre les termes de rang $n$ et $n-1$ la relation
$u_n=u_{n-1}+r$.
De même entre les termes de rang $n-1$ et $n-2$, nous avons
$u_{n-1}=u_{n-2}+r$,
entre les terme de rang $n-2$ et $n-3$
$u_{n-2}=u_{n-3}+r$,
$\vdots$
puis entre les termes de rang $2$ et $1$, nous avons
$u_2=u_1+r$,
et enfin entre les termes de rang $1$ et $0$
$u_1=u_0+r$.
Réécrivons toutes ces égalités les unes sous les autres :
\begin{eqnarray} &u_n& &=& &u_{n-1}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-1}& &=& &u_{n-2}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-2}& &=& &u_{n-3}& &+&r \nonumber \\ &\vdots& & & &\vdots & & & \vdots \nonumber \\ &u_2& &=& &u_1& &+&r \nonumber \\ &u_1& &=& &u_0& &+&r \nonumber \end{eqnarray}
Additionnons toutes ces égalités membre à membre, nous obtenons alors
$u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+…+u_2+u_1=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}+…+u_1+u_0+\underbrace{r+r+…+r}_{n \textrm { fois}}$.
Nous pouvons constater que le terme $u_{n-1}$ se trouve dans le membre de gauche et dans le membre de droite. Il peut être simplifié. Il en est de même des termes $u_{n-2}$, $u_{n-3}$, …, $u_2$, $u_1$ qui peuvent donc aussi être simplifiés. De plus, la raison $r$ est présente $n$ fois dans le terme de droite. Nous obtenons alors après simplification
$\mathbf {u_n=u_0+n\times r}$.
Commentaires
J’ai toujours eu des difficultés en mathématiques et, en général, dans les matières scientifiques avec des moyennes très basses, souvent en dessous de 10. On m’a conseillé Laurent avec qui j’ai eu cours en première et en terminale ES. À l’écoute, patient et surtout sans jugements, Laurent m’a aidé à prendre confiance en moi et m’a permis de faire des progrès immenses jusqu’à faire partie des premières de ma classe en maths et partir, après le lycée, en prépa scientifique, moi qui à l’époque détestait ça. Gentil et patient, je conseille vivement Laurent qui sais s’adapter aux difficultés de chacun et débloquer des problèmes encrés depuis longtemps!
Laurent est un super prof qui m’a aidé en maths de ma 4e jusqu’à ma terminale ES. Ses cours son clairs et très bien expliqués. Il est pédagogue et sait reconnaître nos difficultés.
Je le recommande vivement pour tout élève sentant une difficulté en maths ou en physique!!
BOUFTANE RANIA le 19/08/2019
À tous ceux qui éprouvent le besoin de se renforcer en mathématiques et physique chimie, je vous conseil vivement de contacter Laurent , il sera comme il l’a été pour moi , « Votre sauveur » Outre ses qualités indéniables pour ces deux matières, il vous apportera par sa saine attitude toute la sérénité nécessaire afin de presque vous faire aimer les mathématiques ! Grand pédagogue dans l’âme, Laurent sera un atout et un facteur certain pour votre réussite , l’année et demie passé à ses côtés m’a apporté beaucoup de confiance en moi et une expérience humaine extraordinaire !
Laurent, l’essayer c’est l’adopter !
Nous tenons à remercier Laurent pour sa pédagogie, sa disponibilité et ses qualités humaines. Sa bonne humeur et sa gentillesse font de lui un professeur accessible. Grâce à lui, notre fille à réappris à aimer les maths, à rattraper son retard ce qui lui a permis d’obtenir son Brevet des Collèges. A ce jour, notre fille en filière Commerce continue toujours à prendre des cours avec Laurent. Un grand merci à lui !!
Laurent a donné des cours de mathématiques à deux de mes enfants. Je le connais donc depuis quelques années. J’apprécie son sérieux, sa disponibilité d’écoute et sa pédagogie.
Mes enfants ont repris confiance en eux. Ils ont beaucoup apprécié son approche et sa méthode de travail.
Je n’hésiterai pas à le solliciter de nouveau si besoin…
Merci Laurent.
Jules , Lucas et Anne
Laurent m’a apporté une grande aide pendant mon année de terminale S, ce qui m’a permis d’avoir des bonnes notes en maths et en physiques.
Je suis en bac S et ayant eu des difficultés en maths et physique cette année, j’ai pris des cours particuliers avec Laurent pendant 6 mois. Cela m’a été très utile mon niveau c’est nettement amélioré dans ces matières. Laurent a toujours été à l’écoute de toutes mes questions, m’a toujours expliqué extrêmement bien mais surtout je prenais vraiment du plaisir à avoir un cours de maths avec Laurent.
Je le remercie pour ces mois de travail et je vous recommande à tous d’avoir un cours particulier avec lui vous ne regretterez pas !
Laurent m’à beaucoup aidé surtout au moment du brevet. Grâce à lui j ai repris confiance en moi et repris goût à faire des maths. Super profs de maths qui s implique à fond. Je sais que en cas de besoin de pourrait compter sur Laurent
je suis en TS et je n’aimais pas du tout la physique chimie jusqu’en terminale ou Laurent m’a donné des cours, aidé à comprendre les notions les plus complexes sans que j’ai l’impression d’être a l’école avec un professeur. J’ai vu ma moyenne augmenter dès le début !
Laurent est un amoureux passionné de ses disciplines que sont les mathématiques, les sciences… Il les enseigne avec coeur et bienveillance, en n’hésitant jamais un instant à revenir sur les bases.
Laurent, vous êtes un professeur brillant et accessible. Merci et à très bientôt !!
ça fait 3 ans que Laurent m’aide en maths, grâce à lui j’ai su prendre plaisir à pratiquer cette matière, à comprendre certaines choses et à prendre confiance en moi. Laurent est super patient et à l’écoute ! Je le recommande vivement !
J’ai travaillé avec Laurent pour améliorer ma moyenne de maths qui était mauvaise avant son aide! 8 de moyenne pour arriver à un 15 au bac blanc !
Enseignement de qualité, à l’écoute et toujours disponible, merci beaucoup !
J’ai travaillé avec Laurent afin d’avoir mon BAC St2s. Laurent s’adapte à toute personne, à tout niveau. Il est patient et à l’écoute. Étant très mauvaise en maths il a su reprendre les bases et me faire progresser. Je le recommande vivement si besoin en mathématiques. Je ne peux que le remercier pour ma part.
Je conseille très vivement Laurent à tout élève en sentant le besoin ! Laurent s’adapte au but de l’étudiant, perfectionnement, remise à niveau ect..
Ce professeur est extrêmement pédagogue et performant dans les mathématiques et la physique/chimie et sait éclaircir les difficultés de chacun
Grâce à Laurent, j’ai pu augmenter ma moyenne en maths et en physique, pour finir sur une excellente note au bac (18 en maths). Ses cours sont très bien expliqués, et redonnent envie de travailler ces matières. Laurent est un excellent prof
Ma fille en terminal s perdait goût aux apprentissages… beaucoup d’absentéisme , à la limite du décrochage. .. Nous avons fait appel à Laurent grâce au bouche à oreille. Laurent a su aborder la physique en redonnant du sens à la matière. Après chacun de ses cours elle avait le sourire et pouvait parler de sujets qui dépassaient certaines fois le cadre scolaire. Elle a obtenu le bac avec la mention bien et surtout elle a repris goût aux apprentissages. …
Disponible, encourageant, à l’écoute ; Laurent redonne confiance en soi et sait s’adapter à chacune de nos difficultés. Je le recommande vivement !
Laurent est un prof génial. Il est à l’écoute de l’élève , il explique de façon différente qu’on ne le fait au lycée. Il m’a permis, personnellement, de reprendre goût aux sciences. On les voit d’une autre façon avec lui. Laurent sait se rendre très disponible, ce qui est agréable. Il m’aide également en dehors des cours que j’ai avec lui, comme par exemple pour un DM compliqué, je peux lui demander de m’éclairer sur le sujet par message. Encore merci à lui.
Je vous le recommande vivement !!
Je vous conseille vivement de faire appel à Laurent si vous rencontrez des difficultés en sciences, quelles qu’elles soient. En ce qui me concerne, je l’ai contacté durant mon année de terminale S. Très dissipé lors des cours de mathématiques, j’ai accumulé les lacunes; à tel point que ma moyenne de maths flirtait avec le 6/20. Autant vous dire que je commençais à pâlir sérieusement et a ne plus croire au beau diplôme du Bac encadré au dessus de la cheminée …
J’ai donc pris des cours avec Laurent et je n’ai pas été déçu. J’ai rattrapé mon retard, repris confiance en moi et ré-appris à apprécier les maths. Laurent fait partager sa passion pour les sciences avec une pédagogie remarquable qui rend limpide la complexité de certains raisonnements.
Enfin bon, je suis passé de 6/20 de moyenne à un 13/20 à l’épreuve de maths au Bac ce qui m’a permis de continuer en études supérieures. Merci encore à toi Laurent.
Et en effet, n’hésitez pas à le contacter, vous ne le regretterez pas.
Jérémy
Un professeur passionné par la connaissance des sciences qu’il transmet à ses élèves et qui n’ hésite pas à dire : « bon , je file me mettre au travail » pour pouvoir répondre au mieux aux attentes de ses élèves, qu’ils soient lycéens ou en études supérieures scientifiques. Un grand merci pour mon fils lycéen, puis étudiant en Paces
Il y a 3 ans, ma fille en terminale S, commençait à perdre pieds. On m’a conseillé Laurent.
Quelle bonne idée !!!!
C’est vraiment quelqu’un d’exceptionnel qui sait donner ou redonner goût aux maths quand on a perdu confiance en soi. Toujours clair dans ses explications, attentif à la moindre difficulté, si tous les profs étaient comme lui …..
N’hésitez pas à le contacter, vous ne regretterez pas.
Brigitte
Un grand Merci à Laurent, pour la qualité de ses cours, sa disponibilité, sa pédagogie. Son accompagnement durant 3 ans dans les matières scientifiques ont permis à mon fils dyscalculique de progresser significativement ( + 4 points sur une moyenne initiale autour de 9), d’obtenir de bons résultats au brevet des collège et d’appréhender sereinement et confortablement sa formation en Bac Pro SAPAT .
Nathalie
J’ai fais appel à Laurent pour préparer mon BAC S. Ses cours m’ont permis de comprendre les notions difficiles et de progresser. Les explications étaient très claires et les cours sont de qualité. Il m’a même aidé en PACES pour la physique. Même si il a plusieurs élèves, il essaie toujours de se rendre disponible pour assurer un suivi régulier.
Si vous avez des difficultés, n’hésitez pas à faire appel à lui !
Sacha