BCPST1 – Thermodynamique – Méthode des mélanges

Il s’agit d’un exercice de calorimétrie typique, utilisant les méthode des mélanges, qui comprend :

  • le calcul d’une température d’équilibre d’un mélange de deux phases condensées à des températures différentes ;
  • la détermination de la valeur en eau (équivalent de la capacité thermique du calorimètre) du calorimètre ;
  • la détermination de la capacité thermique massique d’un corps pur.

Énoncé de l’exercice

– Méthode des mélanges –


Un calorimètre contient $95{,}0~\mathrm{g}$ d’eau à $20{,}0^{\circ}\mathrm{C}$. On ajoute $70{,}0~\mathrm{g}$ d’eau à $50{,}0^{\circ}\mathrm{C}$.

1. Quelle serait la température d’équilibre si on pouvait négliger la capacité thermique du calorimètre et des accessoires ?

2. La température d’équilibre observée est de $31{,}3^{\circ}\mathrm{C}$. En déduire la valeur en eau du vase et des accessoires.

3. Le même calorimètre contient maintenant $100{,}0~\mathrm{g}$ d’eau à $15{,}0^{\circ}\mathrm{C}$. On y plonge un échantillon métallique pesant $25{,}0~\mathrm{g}$ sortant d’une étuve à $95{,}0^{\circ}\mathrm{C}$. La température d’équilibre étant $16{,}7^{\circ}\mathrm{C}$, calculer la capacité thermique massique du métal.


Corrigé de l’exercice

– Méthode des mélanges –

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1. Le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système fermé « purement » thermodynamique (c’est-à-dire globalement immobile) s’écrit

$$\Delta U=W+Q$$

$\Delta U$ représente la variation d’énergie interne du système au cours de la transformation qu’il subit le menant de l’état initial à l’état final. $W$ représente le transfert d’énergie mécanique algébriquement reçue par le système ($W>0$ si le système reçoit l’énergie, $W<0$ si il la fournit) et égal au travail des forces de pression exercées par le milieu extérieur sur la surface du système. Enfin $Q$ représente le transfert d’énergie thermique (chaleur) algébriquement reçue par le système (idem).

Or le système thermodynamique étudié contenu dans le calorimètre est constitué uniquement de phases condensées, supposées indilatables et incompressibles, donc de volume constant. Le travail des forces pressantes est donc nul : $W=0$ (en effet, $V=\mathrm{cst} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}V=0 \quad \Rightarrow \quad \delta W=-P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V=0 \quad \Rightarrow \quad W=0$).

De plus, il n’y a pas de transfert de chaleur entre le milieu extérieur et le système (pas de chauffage du système à l’aide d’une résistance électrique par exemple) autre que les pertes, que l’on néglige. Donc on a $Q=0$.

D’où un premier principe qui s’écrit pour le système étudié

$$\Delta U=0$$

Comme l’énergie interne est une fonction d’état extensive (que l’on considerera additive), on a :

$$U\left(\sum \mathrm{sous-systèmes}\right)=\sum U(\mathrm{sous-sytème})$$

Ainsi, subdivisons donc le système en sous-système. On peut alors schématiser la transformation, se produisant à $P_{\mathrm{atm}}$, de la façon suivante :

 

État inial                                                  État final

sos-mp.fr - BCPST1 - Thermodynamique - Méthode des mélanges - Ex2 - schéma1

On a

$$\Delta U=\Delta U_{\mathrm{calo}}+\Delta U_1+\Delta U_2=0$$

où $\Delta U_{\mathrm{calo}}$, $\Delta U_1$ et $\Delta U_2$ représentent respectivement les variations d’énergie interne du calorimètre, de la masse $m_1$ d’eau et de la masse $m_2$ d’eau.

D’où

$$C_\mathrm{calo}(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_1c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_2c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)=0 \qquad (1)$$

Si l’on néglige la capacité thermique $C_\mathrm{calo}$ du calorimètre et des accessoires, nous obtenons alors

$$m_1c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_2c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)=0$$

Divisons les deux membre de l’égalité par $c_0$, puis développons l’expression et isolons, dans le membre de gauche, les termes « en $\theta_\mathrm{e}$ », puis enfin, factorisons ces termes par $\theta_\mathrm{e}$. Nous obtenons alors

$$\theta_\mathrm{e}(m_1+m_2)=m_1\theta_1+m_2\theta_2$$

D’où finalement

$$\theta_\mathrm{e}=\frac{m_1\theta_1+m_2\theta_2}{m_1+m_2}$$

A.N. : $\displaystyle \theta_\mathrm{e}=\frac{95{,}0\times20{,}0+70{,}0\times 50{,}0}{95{,}0+70{,}0}=32{,}7^{\circ}\mathrm{C}$, soit $\boxed{\theta_\mathrm{e}=33^{\circ}\mathrm{C}}$

2. Ici, nous voulons déterminer la valeur en eau $\mu$ du vase et des accessoires. Ce qui signifie que nous ne considérons pas négligeable la capacité thermique de l’ensemble vase+accessoires. Or, nous savons que $C_\mathrm{calo}=\mu c_0$. D’où $(1)$ s’écrit

$$\mu c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_1c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_2c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)=0 $$

Divisons les deux membres de l’égalité par $c_0$, puis isolons, dans le membre de gauche, le terme « en $\mu$ ». Nous obtenons alors

$$\mu(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)=-m_2(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)-m_1(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)$$

D’où

$$\mu=\frac{-m_2(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)}{\theta_\mathrm{e}-\theta_1}-m_1=\frac{m_2(\theta_2-\theta_\mathrm{e})}{\theta_\mathrm{e}-\theta_1}-m_1$$

A.N. : $\displaystyle \mu=\frac{70{,}0\times (50{,}0-31{,}3)}{31{,}3-20{,}0}-95{,}0=20{,}8~\mathrm{g}$, soit $\boxed{\mu=21~\mathrm{g}}$

3. Comme dans la première question, le premier principe, appliqué au système thermodynamique (fermé) contenu dans le calorimètre, ne subissant aucun apport extérieur de chaleur, s’écrit

$$\Delta U=W+Q=0$$

Comme l’énergie interne est une fonction d’état extensive, nous subdivisons le système en sous-système. Nous pouvons alors schématiser la transformation, se produisant à $P_{\mathrm{atm}}$, de la façon suivante :

 

État inial                                                  État final

sos-mp.fr - BCPST1 - Thermodynamique - Méthode des mélanges - Ex2 - schéma2

On a

$$\Delta U=\Delta U_{\mathrm{calo}}+\Delta U_1+\Delta U_2=0$$

où $\Delta U_{\mathrm{calo}}$, $\Delta U_1$ et $\Delta U_2$ représentent respectivement les variations d’énergie interne du calorimètre, de la masse $m_1$ d’eau et de la masse $m_2$ de métal.

D’où

$$C_\mathrm{calo}(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_1c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_2c_\mathrm{métal}(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)=0$$

qui s’écrit, puisque $C_\mathrm{calo}=\mu c_0$ :

$$\mu c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_1c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)+m_2c_\mathrm{métal}(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)=0$$

Isolons, dans le membre de gauche, le terme en « $c_\mathrm{métal}$ »

$$\begin{eqnarray} \quad m_2c_\mathrm{métal}(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)&=&-(\mu+m_1)c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1) \nonumber \\ \Longleftrightarrow \quad c_\mathrm{métal}&=&\frac{-(\mu+m_1)c_0(\theta_\mathrm{e}-\theta_1)}{m_2(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)} \nonumber \\ \Longleftrightarrow \quad c_\mathrm{métal}&=&\frac{(\mu+m_1)c_0(\theta_1-\theta_\mathrm{e})}{m_2(\theta_\mathrm{e}-\theta_2)} \nonumber\end{eqnarray}$$

A.N. : $\displaystyle c_\mathrm{métal}=\frac{(20{,}8+100{,}0)\times 4{,}18\times (15{,}0-16{,}7)}{25{,}0\times (16{,}7-95{,}0)}=0{,}439~\mathrm{kJ}$

soit $\boxed{c_\mathrm{métal}=439~\mathrm{J}}$.


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