BCPST2 – Électricité – Résonance en tension

Cet exercice a pour but l’étude de la résonance en tension d’un circuit alimenté en régime sinusoïdal. Il y est question notamment de la détermination de la fréquence de résonance et du facteur de qualité du circuit.

Énoncé de l’exercice

– Résonance en tension –


On considère le circuit oscillant suivant alimenté en régime sinusoïdal. L’amplitude de l’intensité du courant d’alimentation est constante et la pulsation est réglable.

sos-mp.fr - BCPST2 - Électricité - Résonance en tension-Circuit RLC parallèle - Ex8 - schéma1

1. Montrer que l’amplitude de $v$ passe par un maximum pour une pulsation $\omega_0$ qu’on exprimera en fonction de $L$ et de $C$. Soit $V_\mathrm{M}$ cette valeur maximale.

2. On note $\omega_1$ et $\omega_2$ $(\omega_2>\omega_1)$ les deux pulsations pour lesquelles l’amplitude de $v$ est $\dfrac{V_\mathrm{M}}{\sqrt 2}$. Le facteur de qualité est

$$Q=\frac{\omega_0}{\omega_2-\omega_1}$$

Exprimer $Q$ en fonction de $R$, $L$ et $C$.


Corrigé de l’exercice

– Résonance en tension –

Pour accéder gratuitement au corrigé détaillé de l'exercice ci-dessus, cliquez ici.
Tous droits réservés
Ne pas vendre, ne pas céder, ne pas diffuser et ne pas copier cette correction sans autorisation.

Vous êtes enseignant et vous êtes intéressé par cette correction, contactez-moi.

1. Le circuit est alimenté en régime sinusoïdal. L’amplitude $I$ du courant d’alimentation $i$ est constante et sa pulsation $\omega$ est variable. $i$ peut donc s’écrire sous la forme

$$i(t)=I\cos(\omega t)$$

Le circuit ne comporte que des dipôles linéaires, il est donc linéaire. La tension $v$ est donc aussi sinusoïdale et de même pulsation $\omega$ (propriété des circuits linéaires, voir le Rappel ci-dessous). On peut ainsi écrire la tension $v$ sous la forme

$$v(t)=V\cos(\omega t+\phi)$$

Rappel : dipôle linéaire et circuit linéaire

Un dipôle est dit linéaire lorsque sa fonction caractéristique (fonction reliant la tension $u$ à ses bornes à l’intensité $i$ du courant le traversant) est linéaire. Précisons qu’ici, le terme linéaire n’est pas à prendre au sens que lui donne l’analyse, celui de fonction linéaire. Il est à prendre au sens plus général que lui donne l’algèbre linéaire, celui d’application linéaire (une fonction linéaire n’etant qu’un cas particulier d’application linéaire).

Les relations entre $u$ et $i$ dans le cas d’une résistance, d’un condensateur et d’une bobine sont rappelons-le respectivement

$u=Ri \quad$, $\quad i(t)=C\dfrac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t} \quad$ et $\quad u(t)=L\dfrac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$

La fonction caractéristique d’une résistance (loi d’Ohm) est à l’évidence une application linéaire (cas particulier de fonction linéaire).  En ce qui concerne le condensateur et la bobine, la dérivation étant une application linéaire, leur fonctions caractéristiques sont donc linéaires. La résistance, le condensateur ainsi que la bobine sont donc des dipôles linéaires.

Une dipôle linéaire présente la propriété suivante : si un signal sinusoïdal est appliqué en entrée d’un dipôle linéaire alors le signal de sortie sera lui aussi sinusoïdal et de même fréquence.

Un circuit composé uniquement de dipôles linéaires présentera la même propriété. 

Montrons que l’amplitude $V$ de la tension $v$ passe par un maximum pour une certaine valeur de $\omega$. Pour cela, trouvons une expression de $V$ en fonction de $\omega$.

Détermination de $V$ en fonction de $\omega$

Le réflexe pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé est de passer en formulation complexe. Nous obtenons ainsi respectivement, pour les grandeurs $i$ et $v$ :

$$\begin{align}& \underline{i}=\underline{I}\mathrm{e}^{j\omega t}  \quad  &\mbox{ avec }& \quad  \underline{I}=I  \\  & \underline{v}=\underline{V}\mathrm{e}^{j\omega t} \quad & \mbox{ avec } & \quad \underline{V}=V\mathrm{e}^{j\phi}\end{align}$$

Nous avons alors, en formulation complexe, le circuit suivant

sos-mp.fr - BCPST2 - Électricité - Résonance en tension-Circuit RLC parallèle - Ex8 - schéma2

avec les impédances complexes de la bobine, du condensateur et du résistor respectivement

$$\underline{Z}_1=\mathrm{j}L\omega , \quad \underline{Z}_2=\frac{1}{\mathrm{j}C\omega} \quad \mbox{ et } \quad \underline{Z}_3=R$$

Nous pouvons déterminer l’impédance équivalente $\underline{Z}$ de l’association en parallèle des trois dipôles. Sachant que l’inverse de l’impédance équivalente à des impédances en parallèle est égale à la somme des inverses des impédances, nous obtenons

$$\frac{1}{\underline{Z}}=\frac{1}{\underline{Z}_1}+\frac{1}{\underline{Z}_2}+\frac{1}{\underline{Z}_3}=\frac{1}{\mathrm{j}L\omega}+\mathrm{j}C\omega + \frac{1}{R}$$

soit

$$\underline{Z}=\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{j}L\omega}+\mathrm{j}C\omega + \displaystyle \frac{1}{R}}$$

On a alors le circuit équivalent suivant :

sos-mp.fr - BCPST2 - Électricité - Résonance en tension-Circuit RLC parallèle - Ex8 - schéma3

La loi d’Ohm aux bornes du dipôle équivalent donne

$$\begin{eqnarray}& &\underline{v}=\underline{Z}\cdot \underline{i} \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad &\underline{v}= \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{j}L\omega}+\mathrm{j}C\omega + \displaystyle \frac{1}{R}} \cdot \underline{i} \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad &\underline{v}= \frac{R}{1+\mathrm{j}\left(RC\omega- \displaystyle \frac{R}{L\omega} \right)}\cdot \underline{i} \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad &\underline{V}= \frac{R}{1+\mathrm{j}\left(RC\omega- \displaystyle \frac{R}{L\omega} \right)}\cdot \underline{I} \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad &V \mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}= \frac{R}{1+\mathrm{j}\left(RC\omega- \displaystyle \frac{R}{L\omega} \right)}\cdot I\end{eqnarray}$$

À partir de là, en prenant le module de l’égalité nous pouvons obtenir l’amplitude $V$ du signal. Ainsi

$$\begin{eqnarray}& &\left|V \mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi}\right|=\left| \frac{R}{1+\mathrm{j}\left(RC\omega- \displaystyle \frac{R}{L\omega} \right)}\cdot I\right| \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad & \left|V\right|\cdot \left|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\phi} \right|=  \frac{\left|R\right|}{\left|1+\mathrm{j}\left(RC\omega- \displaystyle \frac{R}{L\omega} \right)\right|}\cdot \left|I\right| \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad & V=  \frac{R}{\sqrt{1+\left(RC\omega- \displaystyle \frac{R}{L\omega} \right)^2}}\cdot I \nonumber \\ \Longleftrightarrow & \quad & V=  \frac{RI}{\sqrt{1+R^2\left(C\omega- \displaystyle \frac{1}{L\omega} \right)^2}} \qquad \qquad (1) \end{eqnarray}$$

Nous avons ainsi obtenu l’expression de l’amplitude $V$ de la tension $v$ en fonction de $\omega$ puisque $R$, $C$, $L$ et $I$ sont des données. Il faut maintenant démontrer que cette amplitude passe par un maximum pour une certaine valeur de $\omega$.

Étude de $V(\omega)$

Tout d’abord, nous avons $\lim\limits_{\omega \to 0}V=0$ et $\lim\limits_{\omega \to \infty}V=0$. De plus, $V$ est maximale pour la valeur de $\omega$ qui rend le radical $\displaystyle \sqrt{1+R^2\left(C\omega- \displaystyle \frac{1}{L\omega} \right)^2}$ minimal. Et le radical est minimal pour un radicande minimal, soit pour $R^2\left(C\omega- \displaystyle \frac{1}{L\omega} \right)^2=0$. Or

$$\begin{eqnarray} R^2\left(C\omega- \displaystyle \frac{1}{L\omega} \right)^2=0 \quad &\Longleftrightarrow& \quad \left(C\omega- \displaystyle \frac{1}{L\omega} \right)^2=0 \nonumber \\  \quad &\Longleftrightarrow& \quad C\omega- \displaystyle \frac{1}{L\omega} =0 \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad \frac{LC\omega^2-1}{L\omega}=0 \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad LC\omega^2-1=0 \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad \omega^2=\frac{1}{LC} \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}} \end{eqnarray}$$

Ainsi, $V$ est  maximale pour la valeur de la pulsation

$$\boxed{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$$

La relation $(1)$ conduit alors pour $\omega=\omega_0$ à la valeur maximale $\boxed{V_\mathrm{M}=RI}$.

Remarque :

Une étude de fonction standard aurait conduit au même résultat.

En effet, posons $\displaystyle V(\omega)=\frac{a}{\sqrt{1+\left(b\omega-\frac{c}{\omega}\right)^2}}$

avec $a=RI$, $b=RC$ et $\displaystyle c=\frac{R}{L}$ tous positifs.

Dérivons : $\displaystyle V'(\omega)=\underbrace{\frac{a}{\left( 1+\left(b\omega-\frac{c}{\omega} \right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}}_{(I)} \cdot \underbrace{\left( \frac{c}{\omega}-b\omega\right)}_{(II)}\cdot \underbrace{\left(b+\frac{c}{\omega^2}\right)}_{(III)}$

Or $a>0 \Rightarrow (I)>0$ et $b, c>0 \Rightarrow (III)>0$. $V(\omega)$ est donc du signe de $\displaystyle \frac{c}{\omega}-b\omega$. Or

$$\begin{eqnarray} \frac{c}{\omega}-b\omega=0 \quad &\Longleftrightarrow& \quad \frac{c-b\omega^2}{\omega}=0 \nonumber \\  \quad &\Longleftrightarrow& \quad c-b\omega^2=0 \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad \omega^2=\frac{c}{b} \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad \omega=\sqrt{\frac{c}{b}} \quad (\mbox{ car } \omega>0) \end{eqnarray}$$

Or $\displaystyle \sqrt{\frac{c}{b}}=\sqrt{\frac{R}{LRC}}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ qui est bien la valeur $\omega_0$ trouvée plus haut. Donc la fonction $V(\omega)$ possède un extremum. On montre ensuite que cet extremum est un maximum.

2. Les pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ définies comme étant les deux valeurs de la pulsation pour lesquelles $\displaystyle V=\frac{V_\mathrm{M}}{\sqrt{2}}$ sont représentées sur le schéma ci-dessous

sos-mp.fr - BCPST2 - Électricité - Résonance en tension-Circuit RLC parallèle - Ex8 - schéma4

Pour exprimer le facteur de qualité $Q$ en fonction de $R$, $L$ et $C$, il  faut exprimer $\omega_1$ et $\omega_2$ en fonction de ces grandeurs. $\omega_1$ et $\omega_2$ étant les solutions de l’équation $\displaystyle V=\frac{V_\mathrm{M}}{\sqrt{2}}$, il nous reste à résoudre cette dernière.

Résolution de l’équation $\displaystyle V=\frac{V_\mathrm{M}}{\sqrt{2}}$

Nous avons

$$\begin{eqnarray} V=\frac{V_\mathrm{M}}{\sqrt{2}} \quad &\Longleftrightarrow& \quad \frac{RI}{\sqrt{1+R^2\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)^2}}=\frac{RI}{\sqrt 2} \nonumber \\  \quad &\Longleftrightarrow& \quad 1+R^2\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)^2=2 \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad R^2\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)^2-1=0 \nonumber \\ \quad &\Longleftrightarrow& \quad \left[R\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)-1\right]\left[R\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)+1 \right]=0 \qquad \qquad (2)\end{eqnarray} $$

Un produit de facteur étant nul si et seulement si l’un des facteurs est nul, nous avons

$$(2) \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{  \begin{align} & R\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)-1=0 \qquad \qquad (3)\\ & \mbox{ou} \\ & R\left(C\omega-\frac{1}{L\omega}\right)+1=0  \qquad \qquad (4) \end{align}\right.$$

Il nous suffit alors de résoudre les équations $(3)$ et $(4)$. En multipliant les deux équations par $L\omega$, nous avons

$$(3) \quad \Longleftrightarrow \quad  RLC\omega^2-L\omega-1=0$$

et

$$(4) \quad \Longleftrightarrow \quad  RLC\omega^2+L\omega-1=0$$

toutes les deux étant des équations du second degré. Le discriminant vaut dans les deux cas $\Delta=L^2+4RLC>0$. Elles admettent donc toutes les deux deux solutions réelles. Les solutions de la première sont

$$\omega_\mathrm{a}=\frac{L-\sqrt{L^2+4RLC}}{2RLC} \qquad \mbox{et} \qquad \omega_\mathrm{b}=\frac{L+\sqrt{L^2+4RLC}}{2RLC}$$

et celles de la deuxième sont

$$\omega_\mathrm{c}=\frac{-L-\sqrt{L^2+4RLC}}{2RLC} \qquad \mbox{et} \qquad \omega_\mathrm{d}=\frac{-L+\sqrt{L^2+4RLC}}{2RLC}$$

Il s’agit des quatre solutions mathématiques de l’équation $(2)$. Mais voyons si ces solutions sont physiquement valides. Nous savons que $\omega$ en tant que pulsation est positive. Vérifions si c’est le cas des quatre valeurs obtenues.

Nous avons $L^2+4RLC>L^2$ donc $\sqrt{L^2+4RLC}>L$. Cela implique que $\omega_\mathrm{a}<0$ et que $\omega_\mathrm{d}>0$. De plus, il est évident que $\omega_\mathrm{b}>0$ et que $\omega_\mathrm{c}<0$. Les deux solutions physiques de l’équation $(2)$ sont donc $\omega_\mathrm{b}$ et $\omega_\mathrm{d}$.

Puisque $\omega_\mathrm{b}>\omega_\mathrm{d}$, nous avons $\omega_2=\omega_\mathrm{b}$ et $\omega_1=\omega_\mathrm{d}$.

Les deux pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$ étant exprimées en fonction de $R$, $L$ et $C$, il ne nous reste plus qu’à exprimer $Q$ en fonction de $R$, $L$ et $C$.

Nous avons

$$\displaystyle Q=\frac{\omega_0}{\omega_2-\omega_1}=\frac{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}{\displaystyle \frac{L+\sqrt{L^2+4RLC}}{2RLC}+\frac{L-\sqrt{L^2+4RLC}}{2RLC}}=\frac{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}{\displaystyle \frac{1}{RC}}=\frac{RC}{\sqrt{LC}}$$

soit

$$\boxed{Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}}$$


Si besoin, consultez les cours de BCPST de M Nicolas Clatin sur :

 
et aussi les cours de M J. Roussel sur :


Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.