Exercice 41 p. 212 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 41 p. 212 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.

Énoncé de l’exercice 41 p. 212


Mettre les nombres complexes donnés sous forme algébrique $a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels.

a. $z_1=\dfrac{-1+\mathrm{i}}{5+3\mathrm{i}}$          b. $z_2=\dfrac{\mathrm{i}-2}{\mathrm{i}+2}$          c. $z_3=\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}\sqrt{2}}$          d. $z_4=\dfrac{\sqrt{2}-2\mathrm{i}}{\sqrt{2}+2\mathrm{i}}$


Correction de l’exercice 41 p. 212

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Correction de l'exercice 41 p. 212 Indice Bordas

a. Puisque le nombre complexe $z_1$ se présente sous la forme d’un quotient de deux nombres complexes, dans une premier temps on rend réel le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Ensuite on développe et on regroupe les réels puis les imaginaires.

\begin{eqnarray}z_1&=&\dfrac{-1+\mathrm{i}}{5+3\mathrm{i}} \nonumber \\ &=& \dfrac{(-1+\mathrm{i})(5-3\mathrm{i})}{(5+3\mathrm{i})(5-3\mathrm{i})} \nonumber \\ &=& \dfrac{-1\times 5 -1\times (-3\mathrm{i})+\mathrm{i}\times 5+\mathrm{i} \times (-3\mathrm{i})}{5^2+3^2} \nonumber \\ &=& \dfrac{-5+3\mathrm{i}+5\mathrm{i}-3\mathrm{i}^2}{25+9}\nonumber \\ &=& \dfrac{-5+3\mathrm{i}+5\mathrm{i}-3\times (-1)}{34} \nonumber \\ &=& \dfrac{-5+3\mathrm{i}+5\mathrm{i}+3}{34} \nonumber \\ &=& \dfrac{-2+8\mathrm{i}}{34} \nonumber \\ &=& \dfrac{-2}{34}+\dfrac{8}{34}\mathrm{i} \nonumber \\ &=& -\dfrac{1}{17}+\dfrac{4}{17}\mathrm{i} \nonumber \end{eqnarray}

b. De même, en faisant attention que le conjugué de $\mathrm{i}+2$ est $-\mathrm{i}+2$,

\begin{eqnarray} z_2&=&\dfrac{\mathrm{i}-2}{\mathrm{i}+2} \nonumber \\ &=& \dfrac{(\mathrm{i}-2)(-\mathrm{i}+2)}{(\mathrm{i}+2)(-\mathrm{i}+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{-\mathrm{i}^2+\mathrm{i}\times 2-2\times (-\mathrm{i})-2\times 2}{1^2+2^2} \nonumber \\ &=& \dfrac{-(-1)+2\mathrm{i}+2\mathrm{i}-4}{1+4}\nonumber \\ &=&\dfrac{1+2\mathrm{i}+2\mathrm{i}-4}{5}\nonumber \\ &=&\dfrac{-3+4\mathrm{i}}{5}\nonumber \\ &=&-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}\mathrm{i} \nonumber \end{eqnarray}

c. On obtient pour $z_3$ :

\begin{eqnarray} z_3&=&\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}\sqrt{2}} \nonumber \\ &=&\dfrac{(\sqrt{3}+\mathrm{i})(2+\mathrm{i}\sqrt{2})}{(2-\mathrm{i}\sqrt{2})(2+\mathrm{i}\sqrt{2})} \nonumber \\  &=& \dfrac{\sqrt{3}\times 2+\sqrt{3}\times \mathrm{i}\sqrt{2}+\mathrm{i}\times 2+\mathrm{i}^2\sqrt{2}}{2^2+\sqrt{2}^2}\nonumber \\ &=& \dfrac{2\sqrt{3} +\sqrt{6}\mathrm{i}+2\mathrm{i}+(-1)\sqrt{2}}{4+2} \nonumber \\ &=&\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}\mathrm{i}+2\mathrm{i}-\sqrt{2}}{6} \nonumber \\ &=&\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}\mathrm{i}+2\mathrm{i}}{6} \nonumber \\ &=&\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6}+\dfrac{\sqrt{6}+2}{6}\mathrm{i} \nonumber  \end{eqnarray}

d. Pour $z_4$ :

\begin{eqnarray}z_4&=&\dfrac{\sqrt{2}-2\mathrm{i}}{\sqrt{2}+2\mathrm{i}}\nonumber \\ &=& \dfrac{(\sqrt{2}-2\mathrm{i})(\sqrt{2}-2\mathrm{i})}{(\sqrt{2}+2\mathrm{i})(\sqrt{2}-2\mathrm{i})} \nonumber \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}^2-2\sqrt{2}\times 2\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2}{\sqrt{2}^2+2^2}\nonumber \\ &=&\dfrac{2-4\sqrt{2}\mathrm{i}+4\times (-1)}{2+4} \nonumber \\ &=&\dfrac{2-4\sqrt{2}\mathrm{i}-4}{6} \nonumber \\ &=&\dfrac{-2-4\sqrt{2}\mathrm{i}}{6} \nonumber \\ &=& -\dfrac{2}{6}-\dfrac{4\sqrt{2}}{6}\mathrm{i} \nonumber \\ &=&-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{i} \nonumber  \end{eqnarray}

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