Exercice 71 p. 187 – Maths Terminale S – transmath Nathan 2012

Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 71 p. 187 du manuel de Terminale S transmath Nathan 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.

Énoncé de l’exercice 71 p. 187


On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{-\cos (x)}$.

1. a) Justifier que $f$ est paire et $2\pi$-périodique.

b) Construisez son tableau de variation sur $[0;\pi]$.

c) Tracez la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la restriction de $f$ à l’intervalle $[0; \pi]$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i};\vec{j})$ où l’unité de longueur est $5~\mathrm{cm}$.

2. On se propose de rechercher les tangentes à $\mathcal{C}$ passant par l’origine $\mathrm{O}$ du repère.

$a$ est un nombre et $\mathrm{A}$ le point de $\mathcal{C}$ ayant pour abscisse $a$. Écrivez une équation de la tangente en $\mathrm{A}$ à $\mathcal{C}$ et prouvez que cette tangente par $\mathrm{O}$ si, et seulement si, $a\sin (a)=1$.

3. On définit la fonction $\Psi$ sur $]0;\pi]$ par :

$$\Psi(x)=\sin (x)-\frac{1}{x}.$$

Attention ! Erreur dans la question 3.a) dans l’énoncé du  manuel. L’énoncé correcte est le suivant.

a) Étudiez les variations de $\Psi$ (on pourra étudier les variation de $\Psi^{\prime}$ pour connaître le signe de $\Psi^{\prime}$).

b) Déduisez-en l’existence, pour la fonction $\Psi$, d’un maximum absolu $M$ en un point $x_0$ (on ne cherchera à calculer ni $x_0$, ni $M$).

c) Calculez $\Psi^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ et $\Psi\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ; déduisez-en la position de $x_0$ par rapport à $\frac{\pi}{2}$ et le signe de $M$.

d) Démontrez alors que $\Psi$ s’annule pour deux nombres $p$ et $q$ de $]0;\pi]$ et donnez, en justifiant, une valeur décimale approchée par défaut, à $10^{-1}$ près, de $p$ et $q$.

4. En utilisant les résultats précédents, concluez quant au nombre de tangentes à $\mathcal{C}$ passant par $\mathrm{O}$.


Correction de l’exercice 71 p. 187

Correction de l'exercice 71 p. 187 transmath Nathan
    

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