Exercice d'approfondissement Mathématique Terminale

Probabilités : loi normale – transmath Nathan 2012 – Ex 88 p. 433

Par le vendredi, mai 24, 2019

Je vous propose une correction détaillée d’un exercice concernant la loi normale en probabilité. Il s’agit plus précisément de l’exercice 88 p. 433 du manuel de Terminale S transmath Nathan 2012. Cet exercice concerne le don du sang.

N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.

Énoncé de l’exercice 88 p. 433 sur la loi normale

Dans tout l’exercice, les résultats seront données avec trois décimales.

sos-mp.fr - Loi normale : don du sangDans un centre de collecte de sang, on commence par mesurer la température corporelle et la pression artérielle des personnes qui se présentent pour un don.

On admet que pour une personne prise au hasard parmi celle qui se présentent :

  • la température corporelle $\mathrm{T}$ (en $^{\circ}~\mathrm{C}$) suit une loi normale d’espérance $37$ et d’écart-type $0,4$ ;
  • la pression artérielle systolique $\mathrm{S}$ (en $\mathrm{cm~Hg}$) suit une loi normale d’espérance $12$ et d’écart-type $2$.

1. On note $\mathrm{F}$ l’événement « La personne a de la fièvre », c’est-à-dire que sa température dépasse $37,8$.

Calculer la probabilité de $\mathrm{F}$.

2. On note $\mathrm{H}$ l’événement « La personne est hypotendue », c’est-à-dire que sa pression artérielle systolique est inférieure à $9$.

Calculer la probabilité de $\mathrm{H}$.

3. Le don de sang est refusé si la personne a de la fièvre (risque d’infection) ou si la personne est hypotendue (risque d’évanouissement). On admet, pour simplifier, que ce sont les seuls cas de refus.

En supposant indépendants les événements $\mathrm{F}$ et $\mathrm{H}$, calculer la probabilité que le don soit refusé.

4. La personne s’est vue refuser le don de sang. Quelle est la probabilité :

a) qu’elle ait de la fièvre ?

b) qu’elle ait de l’hypotension ?

c) qu’elle ait de la fièvre et de l’hypotension ?

sos-mp.fr - Loi normale, probabilité : allons-y !

Correction de l’exercice 88 p. 433 sur la loi normale

Correction de l'exercice 88 p. 433 transmath Nathan

1. Par définition de l’événement $\mathrm{F}$, on a $\mathrm{F}=(\mathrm{T}>37,8)$, d’où la probabilité recherchée s’écrit sous la forme

\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{F})&=&\mathrm{P}(\mathrm{T}>37,8) \nonumber\end{eqnarray}

En observant la courbe de Gauss, on obtient

\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{F})&=&0,5-\mathrm{P}(37<\mathrm{T}<37,8) \nonumber\end{eqnarray}

La calculatrice donne $\mathrm{P}(37<\mathrm{T}<37,8)=0,477$, d’où

\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{F})&=&0,5-0,477=0,023. \nonumber\end{eqnarray}

2. Par définition de l’événement $\mathrm{H}$, on a $\mathrm{H}=(\mathrm{S}<9)$, d’où la probabilité recherchée s’écrit sous la forme

\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{H})&=&\mathrm{P}(\mathrm{S}<9) \nonumber\end{eqnarray}

En observant la courbe de Gauss, on obtient

\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{H})&=&0,5-\mathrm{P}(9<\mathrm{S}<12) \nonumber\end{eqnarray}

La calculatrice donne $\mathrm{P}(9<\mathrm{S}<12)=0,433$, d’où

\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{H})&=&0,5-0,433=0,067. \nonumber\end{eqnarray}

3. Étant donné que la fièvre et l’hypotension sont les seules raisons d’un refus, l’événement « Le don de sang est refusé » s’écrit $(\mathrm{F}\cup\mathrm{H})$. La probabilité recherchée s’écrit donc $\mathrm{P}(\mathrm{F}\cup\mathrm{H})$.

On a

\begin{eqnarray}\mathrm{P}(\mathrm{F}\cup\mathrm{H})=\mathrm{P}(\mathrm{F})+\mathrm{P}(\mathrm{H})-\mathrm{P}(\mathrm{F}\cap\mathrm{H})\nonumber \end{eqnarray}

Or, les événement $\mathrm{F}$ et $\mathrm{H}$ sont supposés indépendants, donc

\begin{eqnarray}\mathrm{P}(\mathrm{F}\cap\mathrm{H})=\mathrm{P}(\mathrm{F})\times\mathrm{P}(\mathrm{H}).\nonumber \end{eqnarray}

On obtient alors

\begin{eqnarray}\mathrm{P}(\mathrm{F}\cup\mathrm{H})&=&\mathrm{P}(\mathrm{F})+\mathrm{P}(\mathrm{H})-\mathrm{P}(\mathrm{F})\times\mathrm{P}(\mathrm{H})\nonumber \\ &=&0,023+0,067-0,023\times 0,067 \nonumber \\ &=& 0,088 \nonumber \end{eqnarray}

4. a) La probabilité que la personne ait de la fièvre sachant qu’elle s’est vue refuser le don de sang s’écrit $\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{F})$. D’après la formule des probabilités conditionnelles, nous avons

\begin{eqnarray}\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{F})=\frac{\mathrm{P((F\cup H)\cap F)}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber\end{eqnarray}

Or $\mathrm{P((F\cup H)\cap F)}=\mathrm{P(F)}$, d’où

\begin{eqnarray}\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{F})&=&\frac{\mathrm{P(F)}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber \\ &=& \frac{0,023}{0,088} \nonumber \\ &=& 0,261 \nonumber \end{eqnarray}

b) De même, la probabilité que la personne ait de l’hypotension sachant qu’elle s’est vue refuser le don de sang s’écrit $\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{H})$. D’après la formule des probabilités conditionnelles, nous avons

\begin{eqnarray}\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{H})=\frac{\mathrm{P((F\cup H)\cap H)}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber\end{eqnarray}

Or $\mathrm{P((F\cup H)\cap H)}=\mathrm{P(H)}$, d’où

\begin{eqnarray}\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{H})&=&\frac{\mathrm{P(H)}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber \\ &=& \frac{0,067}{0,088} \nonumber \\ &=& 0,761 \nonumber \end{eqnarray}

c) À nouveau, la probabilité que la personne ait de la fièvre et de l’hypotension sachant qu’elle s’est vue refuser le don de sang s’écrit $\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{F\cap H})$. D’après la formule des probabilités conditionnelles, nous avons

\begin{eqnarray}\mathrm{P}_{\mathrm{F\cup H}}(\mathrm{F\cap H})&=&\frac{\mathrm{P((F\cup H)\cap (F\cap H))}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber \\ &=& \frac{\mathrm{P(F\cap H)}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber \\ &=& \frac{\mathrm{P(F) \times P(H)}}{\mathrm{P(F\cup H)}} \nonumber \\ &=& \frac{0,023 \times 0,067}{0,088}\nonumber \\ &=& 0,018 \nonumber \end{eqnarray}

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