Cet exercice sur les différentes réactions à un allergène est un exercice standard avec la détermination de la nature des données, de la taille de l’échantillon, des fréquence des modalités observées et des fréquences cumulées, du mode et la représentation à l’aide de diagramme en barres et par secteur et de boîte à moustache.
Énoncé de l’exercice
– Différentes réactions à un allergène –
Une étude est réalisée sur les patients auxquels est administré un traitement afin d’étudier à quel point il présente des risque allergènes. On notera $0$ (aucune réaction), $1$ (faible réaction), $2$ (réaction modérée) et $3$ (choc anaphylactique).
1. Indiquez la nature des données et la taille de l’échantillon.
2. Représentez les fréquences sous forme d’un diagramme en barres puis d’un diagramme par secteur.
3. Quelle est la valeur du mode ?
4. Calculez les fréquences cumulées et les représenter sous forme d’un diagramme en barres.
5. Donnez les valeurs des quartiles puis les représenter au travers d’une boîte à moustaches.
Corrigé de l’exercice
– Différentes réactions à un allergène –
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1. Nature des données et taille de l’échantillon
On peut considérer la population étudiée comme étant constituée des patients auxquels est administré le traitement. Elle est notée $\Omega$.
$\Omega=$ {patients auxquels est administré le traitement}.
L’unité statistique (ou individu) est donc un patitent auquel est administré le traitement. Il est noté $\omega$ ($\omega \in \Omega$).
La variable (ou caractère) étudiée, $X$, qui est l’application
$\begin{eqnarray}X : \Omega &\rightarrow& V \nonumber \\ \omega &\mapsto& X(\omega) \nonumber\end{eqnarray}$
correspond au niveau (degré) d’allergie. Le domaine $V=\{0,1,2,3 \}$. Or ces valeurs numériques sont non-quantitatives (elle ne correspondent pas à des quantités). Elles remplacent par commodité les catégories aucune réaction, faible réaction, réaction modérée et choc anaphylactique. Néanmoins, elles peuvent être ordonnées (du plus faible au plus élevé). La variable est donc qualitative ordinale.
Les données recueillies représentent les observations de cette variable sur un échantillon de cette population dont la taille est $n=100$.
En conclusion, les données sont de type quantitatif ordinal et la taille de l’échantillon est 100.
2. Diagramme en barres des fréquences
Pour réaliser le diagramme en barres des fréquences, il faut tout d’abord déterminer les fréquences des modalités.
On rappelle que pour une modalité $v_i$ d’effectif $n_i$, sa fréquence est $\displaystyle f_i=\frac{n_i}{n}$, avec $n$ effectif total (taille de l’échantillon).
Le tableau suivant rassemble les fréquences des modalités
D’où le diagramme en barres des fréquences
Diagramme en secteurs
Pour tracer le diagramme en secteur, il faut déterminer les angles correspondant aux secteurs. Ils sont rassemblés dans le tableau suivant
D’où le diagramme en secteurs suivant
3. Valeur du mode
Le mode étant la modalité pour laquelle l’effectif est le plus grand, il s’agit de $0$.
4. Fréquences cumulées
Le tableau suivant rassemble les fréquences cumulées
Diagramme en barres des fréquences cumulées
On obtient alors le diagramme en barres des fréquences cumulées
5. Valeurs des quartiles
Rappelons que le premier quartile, noté $Q_1$, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25~\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_1$.
Si l’on revient au tableau des fréquences cumulées, on voit que $38~\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à 0. Donc $Q_1=0$.
Le deuxième quartile, qui n’est autre que la médiane, notée $\mathrm{M\acute ed}$, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $50~\%$ des données soient inférieures ou égales à $\mathrm{M\acute ed}$. Toujours d’après le tableau des fréquences cumulées, on voit que $\mathrm{M\acute ed}=1$.
Pour finir, le troisième quartile, noté $Q_3$, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75~\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_3$. Le tableau nous donne $Q_3=2$.
Boîte à moustaches
Les données précédentes peuvent être représentées à l’aide de la boîte à moustaches suivante
