LAS1 – Biostatistique – Différentes réactions à un allergène

Cet exercice sur les différentes réactions à un allergène est un exercice standard avec la détermination de la nature des données, de la taille de l’échantillon, des fréquence des modalités observées et des fréquences cumulées, du mode et la représentation à l’aide de diagramme en barres et par secteur et de boîte à moustache.

Énoncé de l’exercice

– Différentes réactions à un allergène –


Une étude est réalisée sur les patients auxquels est administré un traitement afin d’étudier à quel point il présente des risque allergènes. On notera $0$ (aucune réaction), $1$ (faible réaction), $2$ (réaction modérée) et $3$ (choc anaphylactique).

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma1

1. Indiquez la nature des données et la taille de l’échantillon.

2. Représentez les fréquences sous forme d’un diagramme en barres puis d’un diagramme par secteur.

3. Quelle est la valeur du mode ?

4. Calculez les fréquences cumulées et les représenter sous forme d’un diagramme en barres.

5. Donnez les valeurs des quartiles puis les représenter au travers d’une boîte à moustaches.


Corrigé de l’exercice

– Différentes réactions à un allergène –

fleches
Pour accéder gratuitement au corrigé détaillé de l'exercice ci-dessus, cliquez ici.
Tous droits réservés
Ne pas vendre, ne pas céder, ne pas diffuser et ne pas copier cette correction sans autorisation.

Vous êtes enseignant et vous êtes intéressé par cette correction, contactez-moi.

1. Nature des données et taille de l’échantillon

On peut considérer la population étudiée comme étant constituée des patients auxquels est administré le traitement. Elle est notée $\Omega$.

$\Omega=$ {patients auxquels est administré le traitement}.

L’unité statistique (ou individu) est donc un patitent auquel est administré le traitement. Il est noté $\omega$ ($\omega \in \Omega$).

La  variable (ou caractère) étudiée, $X$, qui est l’application

$\begin{eqnarray}X : \Omega &\rightarrow& V \nonumber \\ \omega &\mapsto& X(\omega) \nonumber\end{eqnarray}$

correspond au niveau (degré) d’allergie. Le domaine $V=\{0,1,2,3 \}$. Or ces valeurs numériques sont non-quantitatives (elle ne correspondent pas à des quantités). Elles remplacent par commodité les catégories aucune réaction, faible réaction, réaction modérée et choc anaphylactique. Néanmoins, elles peuvent être ordonnées (du plus faible au plus élevé). La variable est donc qualitative ordinale.

Les données recueillies représentent les observations de cette variable sur un échantillon de cette population dont la taille est $n=100$.

En conclusion, les données sont de type quantitatif ordinal et la taille de l’échantillon est 100.

2. Diagramme en barres des fréquences

Pour réaliser le diagramme en barres des fréquences, il faut tout d’abord déterminer les fréquences des modalités.

On rappelle que pour une modalité $v_i$ d’effectif $n_i$, sa fréquence est $\displaystyle f_i=\frac{n_i}{n}$, avec $n$ effectif total (taille de l’échantillon).

Le tableau suivant rassemble les fréquences des modalités

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma2

D’où le diagramme en barres des fréquences

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma3

Diagramme en secteurs

Pour tracer le diagramme en secteur, il faut déterminer les angles correspondant aux secteurs. Ils sont rassemblés dans le tableau suivant

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma4

D’où le diagramme en secteurs suivant

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma5

3. Valeur du mode

Le mode étant la modalité pour laquelle l’effectif est le plus grand, il s’agit de $0$.

4. Fréquences cumulées

Le tableau suivant rassemble les fréquences cumulées

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma6

Diagramme en barres des fréquences cumulées

On obtient alors le diagramme en barres des fréquences cumulées

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma7

5. Valeurs des quartiles

Rappelons que le premier quartile, noté $Q_1$, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25~\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_1$.

Si l’on revient au tableau des fréquences cumulées, on voit que $38~\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à 0. Donc $Q_1=0$.

Le deuxième quartile, qui n’est autre que la médiane, notée $\mathrm{M\acute ed}$, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $50~\%$ des données soient inférieures ou égales à $\mathrm{M\acute ed}$. Toujours d’après le tableau des fréquences cumulées, on voit que $\mathrm{M\acute ed}=1$.

Pour finir, le troisième quartile, noté $Q_3$, est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75~\%$ des données soient inférieures ou égales à $Q_3$. Le tableau nous donne $Q_3=2$.

Boîte à moustaches

Les données précédentes peuvent être représentées à l’aide de la boîte à moustaches suivante

sos-mp.fr - LAS1 - Biostatistique - Différentes réactions à un allergène - Ex2 - schéma8


Si besoin :

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.