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Le conjugué du nombre complexe $z=a+\mathrm{i}b$ est le nombre complexe, noté $\overline z$, tel que $\overline z= a-\mathrm{i}b$
Considérons deux nombres complexes $z$ et $z’$.
$\color{red}{[1]}\quad$ $\overline{z+z’}=\overline z +\overline{z’}$
Mettre un nombre complexe sous forme algébrique signifie l’écrire sous la forme $a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels.
Pratiquement, il faut rassembler tous les réels à gauche du nombre et tous les imaginaires à droite. Pour ce faire, il peut être nécessaire de développer certain terme pour pouvoir séparer les réels et les imaginaires. Il faut systématiquement remplacer $\mathrm{i}^2$ par $-1$ lorsqu’il apparaît.
Si le nombre complexe à mettre sous forme algébrique est un quotient de deux nombres complexes, il faut dans un premier temps rendre le dénominateur réel. Pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Par définition d’une suite arithmétique, nous avons respectivement entre les termes de rang $n$ et $n-1$ la relation
$u_n=u_{n-1}+r$.
De même entre les termes de rang $n-1$ et $n-2$, nous avons
$u_{n-1}=u_{n-2}+r$,
entre les terme de rang $n-2$ et $n-3$
$u_{n-2}=u_{n-3}+r$,
$\vdots$
puis entre les termes de rang $2$ et $1$, nous avons
$u_2=u_1+r$,
et enfin entre les termes de rang $1$ et $0$
$u_1=u_0+r$.
Réécrivons toutes ces égalités les unes sous les autres :
\begin{eqnarray} &u_n& &=& &u_{n-1}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-1}& &=& &u_{n-2}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-2}& &=& &u_{n-3}& &+&r \nonumber \\ &\vdots& & & &\vdots & & & \vdots \nonumber \\ &u_2& &=& &u_1& &+&r \nonumber \\ &u_1& &=& &u_0& &+&r \nonumber \end{eqnarray}
Additionnons toutes ces égalités membre à membre, nous obtenons alors
$u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+…+u_2+u_1=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}+…+u_1+u_0+\underbrace{r+r+…+r}_{n \textrm { fois}}$.
Nous pouvons constater que le terme $u_{n-1}$ se trouve dans le membre de gauche et dans le membre de droite. Il peut être simplifié. Il en est de même des termes $u_{n-2}$, $u_{n-3}$, …, $u_2$, $u_1$ qui peuvent donc aussi être simplifiés. De plus, la raison $r$ est présente $n$ fois dans le terme de droite. Nous obtenons alors après simplification
$\mathbf {u_n=u_0+n\times r}$.