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Soutien scolaire Orléans Sud

Nombres complexes

Terminale S

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1 Terminale S
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Méthodologie de résolution d'un problème de mécanique

 

  • Préciser le système matériel sur lequel porte l’étude ;
  • Indiquer le référentiel dans lequel l’étude sera réalisé et qui devra être supposé galiléen ;
  • Préciser le repère utilisé (choisi au mieux en considérant la symétrie du mouvement) et les différentes conventions ;
  • Faire un schéma (quand cela a du sens) ;
  • Exprimer le cas échéant les vecteurs position, vitesse et accélération du système dans le repère choisi et préciser les différentes conditions initiales (vecteur position, vecteur vitesse) du mouvement ;
  • Réaliser un bilan complet des forces extérieures agissant sur le système en les décomposant selon les vecteurs de base du repère choisi ;
  • Appliquer la Relation Fondamentale de la Dynamique (deuxième loi de Newton) vectorielle puis l’exprimer sous la forme d’un système d’équations différentielles scalaires ;
  • Résoudre les équations différentielles avec utilisation des conditions initiales.

Le conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué du nombre complexe $z=a+\mathrm{i}b$ est le nombre complexe, noté $\overline z$, tel que $\overline z= a-\mathrm{i}b$


Propriétés

Considérons deux nombres complexes $z$ et $z’$.

$\color{red}{[1]}\quad$ $\overline{z+z’}=\overline z +\overline{z’}$

Mettre un nombre complexe sous forme algébrique

Mettre un nombre complexe sous forme algébrique signifie l’écrire sous la forme $a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels.


Pratiquement, il faut rassembler tous les réels à gauche du nombre et tous les imaginaires à droite. Pour ce faire, il peut être nécessaire de développer certain terme pour pouvoir séparer les réels et les imaginaires. Il faut systématiquement remplacer $\mathrm{i}^2$ par $-1$ lorsqu’il apparaît.

Si le nombre complexe à mettre sous forme algébrique est un quotient de deux nombres complexes, il faut dans un premier temps rendre le dénominateur réel. Pour cela il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Démonstration de la relation explicite de définition d’une suite arithmétique

Par définition d’une suite arithmétique, nous avons respectivement entre les termes de rang $n$ et $n-1$ la relation

$u_n=u_{n-1}+r$.

De même entre les termes de rang $n-1$ et $n-2$, nous avons

$u_{n-1}=u_{n-2}+r$,

entre les terme de rang $n-2$ et $n-3$

$u_{n-2}=u_{n-3}+r$,

$\vdots$

puis entre les termes de rang $2$ et $1$, nous avons

$u_2=u_1+r$,

et enfin entre les termes de rang $1$ et $0$

$u_1=u_0+r$.

Réécrivons toutes ces égalités les unes sous les autres :

\begin{eqnarray} &u_n& &=& &u_{n-1}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-1}& &=& &u_{n-2}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-2}& &=& &u_{n-3}& &+&r \nonumber \\  &\vdots& & & &\vdots & & & \vdots \nonumber \\ &u_2& &=& &u_1& &+&r \nonumber \\ &u_1& &=& &u_0& &+&r \nonumber \end{eqnarray}

Additionnons toutes ces égalités membre à membre, nous obtenons alors

$u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+…+u_2+u_1=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}+…+u_1+u_0+\underbrace{r+r+…+r}_{n \textrm { fois}}$.

Nous pouvons constater que le terme $u_{n-1}$ se trouve dans le membre de gauche et dans le membre de droite. Il peut être simplifié. Il en est de même des termes $u_{n-2}$, $u_{n-3}$, …, $u_2$, $u_1$ qui peuvent donc aussi être simplifiés. De plus, la raison $r$ est présente $n$ fois dans le terme de droite. Nous obtenons alors après simplification

$\mathbf {u_n=u_0+n\times r}$.