Démonstration de la relation explicite de définition d’une suite arithmétique
Par définition d’une suite arithmétique, nous avons respectivement entre les termes de rang $n$ et $n-1$ la relation
$u_n=u_{n-1}+r$.
De même entre les termes de rang $n-1$ et $n-2$, nous avons
$u_{n-1}=u_{n-2}+r$,
entre les terme de rang $n-2$ et $n-3$
$u_{n-2}=u_{n-3}+r$,
$\vdots$
puis entre les termes de rang $2$ et $1$, nous avons
$u_2=u_1+r$,
et enfin entre les termes de rang $1$ et $0$
$u_1=u_0+r$.
Réécrivons toutes ces égalités les unes sous les autres :
\begin{eqnarray} &u_n& &=& &u_{n-1}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-1}& &=& &u_{n-2}& &+&r \nonumber \\ &u_{n-2}& &=& &u_{n-3}& &+&r \nonumber \\ &\vdots& & & &\vdots & & & \vdots \nonumber \\ &u_2& &=& &u_1& &+&r \nonumber \\ &u_1& &=& &u_0& &+&r \nonumber \end{eqnarray}
Additionnons toutes ces égalités membre à membre, nous obtenons alors
$u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+…+u_2+u_1=u_{n-1}+u_{n-2}+u_{n-3}+…+u_1+u_0+\underbrace{r+r+…+r}_{n \textrm { fois}}$.
Nous pouvons constater que le terme $u_{n-1}$ se trouve dans le membre de gauche et dans le membre de droite. Il peut être simplifié. Il en est de même des termes $u_{n-2}$, $u_{n-3}$, …, $u_2$, $u_1$ qui peuvent donc aussi être simplifiés. De plus, la raison $r$ est présente $n$ fois dans le terme de droite. Nous obtenons alors après simplification
$\mathbf {u_n=u_0+n\times r}$.
