BCPST1 – Électricité – Conduction par le cuivre

1. Détermination de la densité électronique

On demande de déterminer $N_\mathrm{e}^*$, le nombre d’électrons libres par unité de volume (autrement dit la densité). Alors, comment aborder cette question ?  Déjà, si l’on se remémore le cours et les formules du cours, on pressent a priori qu’il ne s’agit pas d’une question d’application directe d’une formule de cours. Il semble qu’aucune formule du cours ne nous permette directement de déterminer cette grandeur. Donc il faut réfléchir un peu. Et dans ce cas, le réflexe est de relire attentivement l’énoncé en s’arrêtant sur chaque information et de bien prendre connaissance des données. Ces dernières peuvent nous donner une piste.

Pour ce qui est de l’énoncé, on dispose d’une information géométrique sur le fil (sa section $S=1,0~\mbox{mm}^2$ ), de l’intensité du courant qui le traverse et enfin le fait que le réseau est constitué d’ions cuivre et d’électrons libres en nombres égaux. Haha ! « un électron libre par atome de cuivre » ! Ce qui signifie que déterminer le nombre d’électrons libres par unité de volume est équivalent à déterminer le nombre d’atomes de cuivres. De plus, dans les données sont spécifiées les masses volumique et molaire du cuivre. On brûle ! C’est la donnée de $\mu_{\mathrm{Cu}}$ et de $M_{\mathrm{Cu}}$ conjointement à l’égalité des densités d’atomes de cuivre et d’électrons libres qui doit mettre la puce à l’oreille : il faut passer par la détermination de la densité d’atomes de cuivre (nombre d’atomes par unité de volume) pour en déduire celle des électrons libres.

Donc déterminons le nombre d’atomes de cuivre par unité de volume, que nous noterons par analogie $N_\mathrm{Cu}^*$.

Par définition de la masse volumique, $$\mu_{\mathrm{Cu}}=\frac{m_{\mathrm{Cu}}}{V}$$

Il nous faut introduire d’une manière ou d’une autre la grandeur $N_\mathrm{Cu}^*$. Comment procéder ? Et bien, nous pouvons passer par le nombre de mole d’atomes de cuivre, $N_\mathrm{Cu}$, puisque la quantité de matière $n$ d’une entité est reliée au nombre $N$ de cette entité par la constante d’Avogadro $\mathcal{N}_\mathrm{A}$ (qui est rappelée dans les données) par la relation $N=n \times  \mathcal{N}_\mathrm{A}$.

Ainsi, on a $m_{\mathrm{Cu}}=n_{\mathrm{Cu}}\times M_{\mathrm{Cu}}$ avec $\displaystyle n_{\mathrm{Cu}}=\frac{N_{\mathrm{Cu}}}{\mathcal{N}_\mathrm{A}}$.

D’où

$$\mu_{\mathrm{Cu}}=\frac{N_{\mathrm{Cu}} M_{\mathrm{Cu}}}{\mathcal{N}_\mathrm{A}V}$$

En notant $\displaystyle N_{\mathrm{Cu}}^*=\frac{N_{\mathrm{Cu}} }{V}$ le nombre d’atomes de cuivre par unité de volume, on obtient

$$\mu_{\mathrm{Cu}}=\frac{N_{\mathrm{Cu}}^* M_{\mathrm{Cu}}}{\mathcal{N}_\mathrm{A}}$$

soit

$$N_{\mathrm{Cu}}^*=\frac{ \mu_{\mathrm{Cu}}\mathcal{N}_\mathrm{A}}{M_{\mathrm{Cu}}}$$

Ainsi, puisque $N_{\mathrm{e}}^*=N_{\mathrm{Cu}}^*$, le nombre d’électrons libres par unité de volume s’écrit

$$\boxed{N_{\mathrm{e}}^*=\frac{ \mu_{\mathrm{Cu}}\mathcal{N}_\mathrm{A}}{M_{\mathrm{Cu}}}}$$

A.N. : $\displaystyle N_{\mathrm{e}}^*=\frac{8,8\cdot 10^3\times 6,02\cdot 10^{23}}{6,02\cdot 10^{-3}}=8,3\cdot 10^{28}~\mbox{m}^{-3}$

(penser à exprimer  la masse molaire $M_{\mathrm{Cu}}$ dans les unités S.I.)

2. Expression de l’intensité du courant

Il faut ici exprimer $I$, l’intensité du courant circulant dans le fil, en fonction de $S$, $N_{\mathrm{e}}^*$, $e$ et $v$ et ceci à l’aide d’un bilan. Rappelons que, dans le cas d’un conducteur métallique, l’intensité du courant électrique est par définition le nombre d’électrons traversant une section droite du conducteur par unité de temps. Ainsi, dans le cas du fil de cuivre cylindrique, notons $dq$ la charge électronique traversant $S$ de gauche à droite pendant l’intervalle de temps $dt$ (voir figure suivante).

La loi de conservation de la charge implique que la charge $dq$ traversant $S$ pendant $dt$ est la charge contenue dans le cylindre de base $S$ et de longueur $vdt$ situé à gauche de la section (figure suivante).

En effet, les porteurs de charge (les électrons se déplaçant à la vitesse $v$) situés à droite de la section ne la traversent pas (puisqu’ils se déplacent vers la droite) et ceux se trouvant à une distance supérieure à $vdt$  à gauche de la section n’ont pas le temps de l’atteindre (pendant $dt$) ni donc de la traverser. Seuls ceux contenus dans le cylindre sus-mentionné traverseront $S$.

Le volume d’un cylindre étant obtenu par le produit de l’aire de la base par sa longueur, nous obtenons pour le cylindre en question $V_{\mathrm{cyl}}=S\cdot v\cdot dt$.

Étant donné que le fil de cuivre contient (question 1.) $N_{\mathrm{e}}^*$ par unité de volume, le nombre d’électrons $N_{\mathrm{e}}$ contenus dans le cylindre s’écrit

$$N_{\mathrm{e}}=N_{\mathrm{e}}^* \cdot V_{\mathrm{cyl}}=N_{\mathrm{e}}^* \cdot S\cdot v\cdot dt$$

La charge d’un électron étant $-e$, la charge totale des $N_{\mathrm{e}}$ électrons contenu dans le cylindre est

$$dq=-N_{\mathrm{e}}^* \cdot S\cdot v\cdot e \cdot dt $$

Le courant électrique est dirigé dans le sens opposé au sens de circulation des électrons et son intensité s’écrit

$$I=\frac{|dq|}{dt}=\frac{|-N_{\mathrm{e}}^* \cdot S\cdot v\cdot e \cdot dt|}{dt}$$

soit finalement

$$\boxed{I=N_{\mathrm{e}}^* \cdot S\cdot v\cdot e} \qquad (1)$$

3. Vitesse des électrons

D’après la relation $(1)$, la vitesse des électrons s’écrit $$v=\frac{I}{N_{\mathrm{e}}^* \cdot S\cdot e}$$

A.N. : $\displaystyle v=\frac{10}{8{,}3\cdot 10^{28}\times 1{,}0\cdot 10^{-6}\times 1{,}6\cdot 10^{-19}}=0{,}075\cdot 10^{-2}~\mbox{m}\cdot \mbox{s}^{-1}$

soit $v=0{,}75~\mbox{mm}\cdot \mbox{s}^{-1}$.

Ainsi, dans ce fil de cuivre, qui est un fil de cuivre standard de ceux qui constituent le réseau électrique domestique, les électrons se déplace à une vitesse d’à peine $1~\mbox{mm}$ par seconde. Le reflexe est de penser que cette valeur est faible quand on se remémore la rapidité à laquelle une ampoule s’allume lorsque l’on appuie sur l’interrupteur. En effet, l’ampoule s’allume quasi instantanément en actionnant l’interrupteur.

La distance qui sépare un interrupteur d’un ampoule est généralement de quelques mètres. Disons $2~\mbox{m}$. Le temps mis par un électron pour parcourir cette distance à la vitesse $v=0{,}75~\mbox{mm}\cdot \mbox{s}^{-1}$ est $\displaystyle \Delta t=\frac{2}{0{,}75\cdot 10^{-3}}=2700~\mbox{s}$, soit à peu près $3/4$ d’heure !

En fait, ici, il ne faut pas confondre la vitesse de déplacement des électrons (que nous venons de calculer) et la vitesse du signal. Cette dernière correspond à la vitesse à laquelle se propage le signal électromagnétique « informant » l’ensemble des électrons du conducteur de se mettre « en marche ». Sa valeur est proche de celle de la lumière.

Pour mieux comprendre, on peut reprendre l’analogie, faite dans l’article Vitesse de l’électricité de Wikipédia, avec l’eau dans un tuyau d’arosage : « lorsqu’on ouvre le robinet au bout d’un tuyau d’arrosage, si le tuyau est plein d’eau, l’eau sort presque instantanément à l’autre extrémité du tuyau, même s’il est long. Mais l’eau qui sort est celle qui était « en attente » juste avant l’extrémité du tuyau, pas celle qui sort du robinet et qui arrivera plus tard. C’est une onde de pression qui met l’eau en mouvement dans le tuyau. »