Cet exercice est une application directe du cours. Il s’agit de calculer la résistance du résistor équivalent à une association de résistors, à la fois en série et en parallèle.
Et pour cela, il suffit d’appliquer les deux règles d’association de résistors vues en cours (elles sont rappelées dans la correction).
Énoncé de l’exercice
– Association de résistors –
Déterminer le résistor équivalent au dipôle $\mathrm{AB}$ constitué de résistors disposés selon :
a) 
b) 
Corrigé de l’exercice
– Association de résistors –
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Avant d’aborder les questions, on rappelle les deux règles de calcul de résistance équivalente concernant les associations de résistors.
Association en série
Le résistor équivalent à une association en série de résistors a pour résistance la somme des résistances de tous les résistors associés. Ainsi, pour $n$ résistors en série, on a
$$R_\mathrm{éq}=\sum_{i=1}^n R_k$$
$R_k$ étant la résistance du $k$-ième résistor.
Association en parallèle
Le résistor équivalent à une association en parallèle de résistors a une résistance telle que son inverse est égal à la somme des inverses des résistances de tous les résistors associés. Ainsi, pour $n$ résistors en série, on a
$$\frac{1}{R_\mathrm{éq}}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{R_k}$$
avec $R_k$ résistance du $k$-ième résistor.
Allons-y maintenant. Nous détaillerons le premier cas.
a) Première association
Déterminons dans un premier temps, la résistance $R_1$ du résistor équivalent à l’association en parallèle des deux résistors entourés en rouge dans la figure suivante.
Comme nous l’avons rappelé plus haut, le résistor équivalent à cette association en parallèle aura une résistance telle que
$$\frac{1}{R_1}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R}$$
soit $\displaystyle R_1=\frac{R}{2}$. D’où le circuit équivalent :
Bien, maintenant, déterminons la résistance $R_2$ du résistor équivalent à l’association en série des deux résistors entourés en rouge dans la figure suivante.
De même, comme rappelé, le résistor équivalent à cette association en série aura une résistance
$$R_2=R_1+R=\frac{R}{2}+R=\frac{3R}{2}$$
D’où le circuit équivalent :
Enfin, il ne nous reste plus qu’à déterminer la résistance $R_\mathrm{éq}$ du résistor équivalent à l’association en parallèle des deux résistors de la figure précédente. Et nous obtenons
$$\frac{1}{R_\mathrm{éq}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R}=\frac{1}{\frac{3R}{2}}+\frac{1}{R}=\frac{2}{3R}+\frac{1}{R}=\frac{5}{3R}$$
soit $\displaystyle R_\mathrm{éq}=\frac{3R}{5}$.
Donc finalement, le crircuit est équivalent à un résistor unique de résistance $\displaystyle R_\mathrm{éq}=\frac{3R}{5}$. D’où l’équivalence des circuits suivante :
b) Deuxième association
Nous irons plus vite ici. Les associations en parallèle des deux résistors de résistance $9~\Omega$ et $18~\Omega$ d’une part et celle des deux résistors de résistance $3~\Omega$ et $6~\Omega$ d’autre part sont respectivement équivalent à des résistors de résistance $R_1$ et $R_2$ telles que
$\displaystyle \frac{1}{R_1}=\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}\quad$ soit $\quad R_1=6~\Omega$
et
$\displaystyle \frac{1}{R_2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\quad$ soit $\quad R_2=2~\Omega$
Ainsi, nous obtenons alors le circuit équivalent
Ensuite, l’association en série des résistors de résistance $2~\Omega$ et $10~\Omega$ est équivalente à un résistor de résistance
$$R_3=2+10=12~\Omega$$
D’où le circuit équivalent
Et pour finir, l’association en parallèle des trois résistors de la figure précédente est équivalente à un résistor de résistance $R_4$ telle que
$\displaystyle \frac{1}{R_4}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\quad$ soit $\quad R_4=3~\Omega$
Le circuit est donc équivalent à un résistor unique de résistance $\displaystyle R_\mathrm{éq}=3~\Omega$. On a donc l’équivalence des circuits suivante :
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