Cet exercice a pour but de décrire les transformations infiniment lentes d’un gaz parfait, en terme de variation d’énergie interne et d’enthalpie ainsi qu’en terme de travail et de transfert de chaleur reçu par le système, dans les cas isotherme, isochore et isobare.
Énoncé de l’exercice
– Transformations infiniment lentes d’un gaz parfait –
On considère une transformation quasi-statique (c’est-à-dire infiniment lente) d’un gaz parfait entre deux états d’équilibre thermodynamique $\mathrm{I}$ $(P_1, V_1, T_1)$ et $\mathrm{F}$ $(P_2, V_2, T_2)$. On considère que $\gamma=\mathrm{cste}$.
Remplir le tableau suivant :
Représenter ces trois transformations dans un diagramme de Clapeyron.
Corrigé de l’exercice
– Transformations infiniment lentes d’un gaz parfait –
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$\triangleright$ Nous savons que pour un gaz parfait, la variation élémentaire d’énergie interne est
$$\mathrm{d} U=C_v \mathrm{d} T=\frac{nR}{\gamma -1}\mathrm{d}T$$
d’où la variation d’énergie interne lors de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$
$\begin{eqnarray}\Delta U=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1) \end{eqnarray}$
$\triangleright$ Toujours pour un gaz parfait, la variation élémentaire d’enthalpie est
$$\mathrm{d} H=C_p \mathrm{d} T=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}\mathrm{d}T$$
d’où la variation d’enthalpie lors de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$
$\begin{eqnarray}\Delta H=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)\end{eqnarray}$
$\triangleright$ Le travail élémentaire des forces de pression extérieure reçu par le système est
$$\delta W=-P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V$$
d’où le travail reçu par le système lors de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$
$$W=\int_\mathrm{I}^\mathrm{F} \delta W=-\int_{V_1}^{V_2}P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V$$
Puisque la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$ est quasi-statique, la pression du système est tout au long de l’évolution égale à la pression extérieure : $P=P_\mathrm{ext}$, d’où
$$W=-\int_{V_1}^{V_2}P\mathrm{d}V$$
Et pour un gaz parfait, nous avons de plus $PV=nRT$ soit $\displaystyle P=\frac{nRT}{V}$, d’où finalement
$\begin{eqnarray}W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\mathrm{d}V\end{eqnarray}$
$\triangleright$ Et enfin, le transfert de chaleur reçu par le système au cours de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$ s’obtient en appliquant le premier principe de la thermodynamique :
$$\Delta U=W+Q$$
Soit
$\begin{eqnarray}\quad Q=\Delta U-W\end{eqnarray}$
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Transformation isotherme
Dans le cas d’une transformation isotherme, la température du système reste constante, soit $T_1=T_2$ que nous noterons $T_0$. Les relations $(1)$ et $(2)$ donnent alors respectivement
$$\Delta U=0$$
et
$$\Delta H=0$$
Puisque $P_1V_1=nRT_1=nRT_0$, la relation $(3)$ donne
$$W=-nRT_0\int_{V_1}^{V_2}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-P_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=P_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$$
ou
$$W=P_1V_1\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$$
Et enfin, la relation $(4)$ implique que
$$Q=\Delta U-W=0-W=-P_1V_1\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$$
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Transformation isochore
Dans le cas d’une transformation isochore, le volume du système reste constant, soit $V_1=V_2$. Les relations $(1)$ et $(2)$ restent respectivement
$$\Delta U=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$
et
$$\Delta H=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$
Le volume étant constant, $\mathrm{d}V=\mathrm{cste}$, et $(3)$ implique alors
$$W=0$$
On en déduit alors de $(4)$ que
$$Q=\Delta U-W=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$
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Transformation isobare
Dans le cas d’une transformation isobare, la pression du système reste constante, soit $P_1=P_2$, que nous noterons $P_0$. Les relations $(1)$ et $(2)$ restent respectivement
$$\Delta U=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$
et
$$\Delta H=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$
La relation $(3)$ donne
$$W=-\int_{V_1}^{V_2}P_0\mathrm{d}V=-P_0(V_2-V_1)$$
On sait que pour une transformation isobare nous avons
$$\Delta H=Q$$
d’où
$$Q=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$
On obtient finalement le tableau suivant
La figure ci-dessous représente les trois transformations précédentes dans un diagramme de Clapeyron
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Si besoin, consultez les cours de BCPST1 de M Nicolas Clatin sur :
- Description d’un système thermodynamique
- Transfert d’énergie : travail et chaleur
- Premier principe de la thermodynamique : énergie interne et enthalpie