BCPST2 – Thermodynamique – Transformations infiniment lentes d’un gaz parfait

$\triangleright$ Nous savons que pour un gaz parfait, la variation élémentaire d’énergie interne est

$$\mathrm{d} U=C_v \mathrm{d} T=\frac{nR}{\gamma -1}\mathrm{d}T$$

d’où la variation d’énergie interne lors de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$

$\begin{eqnarray}\Delta U=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1) \end{eqnarray}$

$\triangleright$ Toujours pour un gaz parfait, la variation élémentaire d’enthalpie est

$$\mathrm{d} H=C_p \mathrm{d} T=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}\mathrm{d}T$$

d’où la variation d’enthalpie lors de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$

$\begin{eqnarray}\Delta H=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)\end{eqnarray}$

$\triangleright$ Le travail élémentaire des forces de pression extérieure reçu par le système est

$$\delta W=-P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V$$

d’où le travail reçu par le système lors de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$

$$W=\int_\mathrm{I}^\mathrm{F} \delta W=-\int_{V_1}^{V_2}P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V$$

Puisque la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$ est quasi-statique, la pression du système est tout au long de l’évolution égale à la pression extérieure : $P=P_\mathrm{ext}$, d’où

$$W=-\int_{V_1}^{V_2}P\mathrm{d}V$$

Et pour un gaz parfait, nous avons de plus $PV=nRT$ soit $\displaystyle P=\frac{nRT}{V}$, d’où finalement

$\begin{eqnarray}W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\mathrm{d}V\end{eqnarray}$

$\triangleright$ Et enfin, le transfert de chaleur reçu par le système au cours de la transformation $\mathrm{I} \longrightarrow \mathrm{F}$ s’obtient en appliquant le premier principe de la thermodynamique :

$$\Delta U=W+Q$$

Soit

$\begin{eqnarray}\quad Q=\Delta U-W\end{eqnarray}$

Transformation isotherme

Dans le cas d’une transformation isotherme, la température du système reste constante, soit $T_1=T_2$ que nous noterons $T_0$. Les relations $(1)$ et $(2)$ donnent alors respectivement

$$\Delta U=0$$

et

$$\Delta H=0$$

Puisque $P_1V_1=nRT_1=nRT_0$, la relation $(3)$ donne

$$W=-nRT_0\int_{V_1}^{V_2}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-P_1V_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=P_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$$

ou

$$W=P_1V_1\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$$

Et enfin, la relation $(4)$ implique que

$$Q=\Delta U-W=0-W=-P_1V_1\ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$$

Transformation isochore

Dans le cas d’une transformation isochore, le volume du système reste constant, soit $V_1=V_2$. Les relations $(1)$ et $(2)$ restent respectivement

$$\Delta U=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$

et

$$\Delta H=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$

Le volume étant constant, $\mathrm{d}V=\mathrm{cste}$, et $(3)$ implique alors

$$W=0$$

On en déduit alors de $(4)$ que

$$Q=\Delta U-W=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$

Transformation isobare

Dans le cas d’une transformation isobare, la pression du système reste constante, soit $P_1=P_2$, que nous noterons $P_0$. Les relations $(1)$ et $(2)$ restent respectivement

$$\Delta U=\frac{nR}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$

et

$$\Delta H=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$

La relation $(3)$ donne

$$W=-\int_{V_1}^{V_2}P_0\mathrm{d}V=-P_0(V_2-V_1)$$

On sait que pour une transformation isobare nous avons

$$\Delta H=Q$$

d’où

$$Q=\frac{nR\gamma}{\gamma -1}(T_2-T_1)$$

On obtient finalement le tableau suivant

La figure ci-dessous représente les trois transformations précédentes dans un diagramme de Clapeyron