Le but de cet exercice est d’étudier un système thermodynamique subissant trois transformations différentes caractérisées par les mêmes états d’équilibre initial et final, puis de discuter la nature de fonction d’état des différents transferts énergétiques (ainsi que leur somme) que subit le système.
Énoncé de l’exercice
– Transferts énergétiques = fonctions d’état ? –
On envisage la détente d’une quantité de matière $n_0$ de gaz parfait, permettant de passer de l’état initial d’équilibre (1) caractérisé par les paramètres d’état $(P_1, V_1, T_0)$ à l’état final d’équilibre (2) caractérisé par les paramètres d’état $(P_\mathrm{atm}, V_2=2V_1, T_0)$, selon différentes façons.
1. Exprimer la valeur de $P_1$ en fonction de $P_\mathrm{atm}$.
On envisage les trois façons de faire suivantes :
$\bf{Processus\ A}$ : Le gaz est enfermé dans un cylindre muni d’un piston sans frottement. Il est détendu, grâce au déplacement très lent du piston (retenu par un opérateur). Les parois du cylindre sont diathermanes et en contact thermique avec un thermostat, source de chaleur de température $T_0$ constante.
$\bf{Processus\ B}$ : Le gaz est enfermé dans un cylindre muni d’un piston de masse négligeable et sans frottement. Il se détend spontanément contre la pression atmosphérique. Le piston est immobilisé lorsque $V=V_2=2V_1$. Les parois du cylindre sont diathermanes et en contact thermique avec un thermostat, source de chaleur de température $T_0$ constante.
$\bf{Processus\ C}$ (expérience dite de Joule / Gay-Lussac) : le gaz est enfermé dans un cylindre muni d’un piston de masse négligeable et sans frottement. Il se détend spontanément contre le vide jusqu’à parvenir au volume $V=V_2=2_1V$. L’ensemble du volume $V_2$ est entouré de parois athermanes, et on constate expérimentalement que la température du gaz ne varie pas au cours de la transformation.
2. Schématiser le dispositif expérimental et préciser la nature de la transformation pour chaque processus.
3. On donne les expressions de $W$ (travail des forces de pression extérieures) et $Q$ (transfert thermique), les grandeurs de transfert algébriquement reçues par le gaz lors de chaque processus :
3.a. Justifier les valeur de $W$ et $Q$ pour le processus C.
3.b. Justifier les signes des valeurs de $W$ et $Q$ pour les processus A et B.
3.c. Les grandeurs $W$ et $Q$ sont-elles des fonctions d’état ? Et leur somme ?
Corrigé de l’exercice
– Transferts énergétiques = fonctions d’état ? –
Vous êtes enseignant et vous êtes intéressé par cette correction, contactez-moi.
1. Le système étudié ici est constitué de $n_0$ mole de gaz parfait. C’est par hypothèse, un système fermé. Nous ne savons rien des frontières du système d’avec le milieu extérieur. Par contre, nous savons qu’il subit une transformation de l’état d’équilibre initial caractérisé par les paramètres d’état $(P_1, V_1, T_0)$ vers l’état d’équilibre final caractérisé par les paramètres d’état $(P_\mathrm{atm}, V_2=2V_1, T_0)$.
Le gaz étant parfait, l’équation des gaz parfaits exprimée dans l’état initial et dans l’état final donne respectivement :
$P_1V_1=n_0RT_0 \quad (1) \quad$ et $\quad P_\mathrm{atm}V_2=n_0RT_0 \quad (2)$.
En faisant le rapport $\displaystyle \frac{(2)}{(1)}$, avec $V_2=2V_1$, on obtient la relation
$$\frac{P_1V_1}{P_\mathrm{atm}V_2}=\frac{n_0RT_0}{n_0RT_0} \quad\Longleftrightarrow \quad\frac{P_1V_1}{2P_\mathrm{atm}V_1}=1 \quad\Longleftrightarrow \quad \frac{P_1}{P_\mathrm{atm}}=1$$
Soit $\boxed{P_1=2P_\mathrm{atm}}$
2. Analysons l’énoncé dans les trois cas.
Processus A
$\triangleright$ Système étudié : $n_0$ mole de gaz parfait contenues dans un cylindre. C’est un système fermé (auncun échange de matière entre le système et le milieu extérieur ; il ne peut y avoir que des transferts énergétiques entre eux), limité par les parois du cylindre et du piston.
$\triangleright$ Nature des parois et transferts énergétiques possibles :
- paroi latérale et paroi du fond : diathermanes (permet les transferts thermiques) et fixes (ne permet pas les transferts d’énergie mécanique) ;
- piston : diathermane et mobile (permet les transferts d’énergie mécanique).
$\triangleright$ États d’équilibre initial et final du système :
état initial : $\left\{ \begin{eqnarray}P_\mathrm{i}&=&P_1 \nonumber \\ V_\mathrm{i}&=&V_1 \nonumber \\ T_\mathrm{i}&=&T_0 \nonumber \end{eqnarray} \right.\quad $ et état final : $\left\{ \begin{eqnarray}P_\mathrm{f}&=&P_\mathrm{atm} \nonumber \\ V_\mathrm{f}&=&2V_1 \nonumber \\ T_\mathrm{f}&=&T_0 \nonumber \end{eqnarray} \right.$
Donc le système subit une transformation de l’état d’équilibre $(P_1, V_1, T_0)$ vers l’état d’équilibre $(P_\mathrm{atm}, 2V_1, T_0)$.
$\triangleright$ Caractéristiques du milieu extérieur pendant la transformation :
Puisque le système est en contact avec un thermostat à $T_0$ à travers des parois diathermes, la température du milieu extérieur est, pour le système, constante, égale à $T_0$ (thermostat). La transformation est donc monotherme.
$\triangleright$ Caractéristiques du système pendant la transformation :
Le gaz étant détendu par déplacement du piston, la pression ainsi que le volume varient. La transformation n’est pas isobare, ni isochore.
$\triangleright$ Façon dont la transformation a lieu :
Le déplacement du piston etant très lent, la transformation est très lente.
Conclusion : la transformation subie par le système est monotherme et très lente, donc isotherme.
Processus B
$\triangleright$ Système étudié : idem
$\triangleright$ Nature des parois et transferts énergétiques possibles : idem
$\triangleright$ États d’équilibre initial et final du système : idem
$\triangleright$ Caractéristiques du milieu extérieur pendant la transformation :
La température du milieu extérieur est constante, égale à $T_0$ (thermostat). La transformation est donc monotherme.
De plus, $P_\mathrm{ext}=P_\mathrm{atm}=\mathrm{cste}$. Donc la transformation est monobare
$\triangleright$ Caractéristiques du système pendant la transformation : idem
$\triangleright$ Façon dont la transformation a lieu :
La vitesse de détente du gaz n’est pas controlée (détente « spontanée »), donc la pression et la température ne sont pas bien définies au cours de la transformation.
Conclusion : la transformation subie par le système est monotherme et monobare.
Processus C
$\triangleright$ Système étudié : idem
$\triangleright$ Nature des parois et transferts énergétiques possibles :
Toutes les parois sont athermanes (ne permet pas de transferts thermiques).
$\triangleright$ États d’équilibre initial et final du système : idem
$\triangleright$ Caractéristiques du milieu extérieur pendant la transformation :
Aucune information remarquable.
$\triangleright$ Caractéristiques du système pendant la transformation :
Puisque « la température ne varie pas au cours de la transformation », la transformation est isotherme.
De plus, les parois étant athermanes, aucun transfert thermique avec le milieu extérieur ne peut y avoir lieu. Nous sommes dans des condition d’adiabadicité.
$\triangleright$ Façon dont la transformation a lieu :
Puisque le gaz « se détend spontanément », la transformation est brutale.
Conclusion : la transformation est adiabatique et isotherme.
3.a. La transformation étant adiabatique, $\delta Q=0$, donc $Q=0$.
De plus, on sait que pour une transformation élémentaire, le travail élémentaire des forces de pression extérieures est $\delta W=-P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V$. Or $P_\mathrm{ext}=0$ (puisque la détente se fait dans le vide). D’où $\delta W=0$ et donc $W=0$
3.b. Au cours des transformations des processus A et B, le transfert d’énergie mécanique est effectivement fournit par le système au milieu extérieur, donc $W<0$. En effet, le déplacement du piston peut par exemple fournir un travail en déplaçant un objet, donc en lui communiquant une certaine vitesse, donc une certaine énergie.
Lors d’une détente, un gaz se refroidit. Hors, dans les Processus A et B, le gaz est en contact (au travers de parois diathermanes) avec un thermostat à $T_0$ qui est la température initiale du système. Donc le système reçoit effectivement un transfert thermique de la part du milieu extérieur. Donc $Q>0$
3.c Rappelons qu’une fonction d’état est une fonction (de variables d’état du système) dont la variation, lors d’une transformation subie par le système, ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des états d’équilibre initial et final.
Or nous pouvons voir que $W$ et $Q$ dépendent du chemin suivi puisqu’ils n’ont pas les mêmes valeurs selon le processus suivi (voir tableau). Donc $W$ et $Q$ n’ont pas la nature de fonction d’état.
Quant à la somme des deux, $W+Q$, qui représente la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système, il s’agit bien d’une fonction d’état, puisque l’énergie interne en est une.
Si besoin, consultez les cours de BCPST1 de M Nicolas Clatin sur :