BCPST1 – Thermodynamique – Transformations couplées

Énoncé de l’exercice

– Transformations couplées –


Un cylindre fermé horizontal est divisé en deux compartiments A et B de même volume $V_0$ par un piston coulissant librement sans frottement. A et B contiennent chacun une mole de gaz parfait à la pression $P_0=10^5~\mathrm{Pa}$ et à la température $T_0=273~\mathrm{K}$. Le piston, la surface latérale du cylindre et la surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{A}$ du compartiment A sont athermanes. La surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{B}$ du compartiement B est diatherme.

Le compartiment A est porté très lentement à la température $T_1=373~\mathrm{K}$ à l’aide d’un résistor chauffant.

sos-mp.fr - BCPST1 - Thermodynamique - Transformations couplées - Ex4 - schéma1

1. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment A ?

2. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment B ?

3. Exprimer les volumes finaux $V_\mathrm{A}$ et $V_\mathrm{B}$ ainsi que la pression finale $P_f$ correspondant à la position d’équilibre du piston en fonction des données. Faire les applications numériques.

On suppose maintenant que la surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{B}$ du compartiment B est athermane et qu’un résistor chauffant placé en B apporte un transfert thermique de façon à ce que le piston reprenne très lentement sa position d’équilibre initial. Le résistor du compartiment A ne fonctionne plus.

sos-mp.fr - BCPST1 - Thermodynamique - Transformations couplées - Ex4 - schéma2

4. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment A ?

5. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment B ?


Corrigé de l’exercice

– Transformations couplées –

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1. Analysons l’énoncé.

$\triangleright$ Système étudié : le gaz du compartiment A. C’est un système fermé (aucun échange de matière entre le système et le milieu extérieur ; il ne peut y avoir que des transfert énergétique entre eux), limités par les parois du compartiment.

$\triangleright$ Nature des parois et transferts énergétiques possibles :

  • paroi latérale et surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{A}$ : athermanes (ne permet pas les transferts d’énergie thermique) et fixe (ne permet pas les transferts d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) ;
  • piston : athermane et mobile (permet les transferts d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) sans frottement.

$\triangleright$ États d’équilibre initial et final du système :

état initial : $\left\{ \begin{eqnarray}P_\mathrm{i}&=&P_0=10^5~\mathrm{Pa} \nonumber \\ V_\mathrm{i}&=&V_0 \nonumber \\ T_\mathrm{i}&=&T_0=273~\mathrm{K} \nonumber \end{eqnarray} \right.\quad $  et état final : $\left\{ \begin{eqnarray}&P_\mathrm{f}& \nonumber \\ &V_\mathrm{f}& \nonumber \\ &T_\mathrm{f}&=T_1=373~\mathrm{K} \nonumber \end{eqnarray} \right.$ 

$\triangleright$ Caractéristiques du milieu extérieur pendant la transformation :

Aucune information remarquable.

$\triangleright$ Caractéristiques du système pendant la transformation :

La pression du système n’est à priori pas constante $(P_0 \rightarrow P_\mathrm{f})$ donc la transformation n’est pas isobare. De même, le volume du système n’est à priori pas non plus constant $(V_0 \rightarrow V_\mathrm{f})$ donc la transformation n’est pas isochore. La température, elle, varie $(T_0 \rightarrow T_1)$, donc la transformation n’est pas isotherme.

Les parois du compartiment A sont athermanes. Aucun échange d’énergie thermique avec le milieu extérieur ne peut y avoir lieu. Mais la présence du résistor chauffant (portant le gaz du compartiment A de $T_0$ à $T_1$) implique un transfert d’énergie thermique. Donc attention, la présence de parois athermanes n’est pas une condition suffisante d’adiabadicité de la transformation.

$\triangleright$ Façon dont la transformation a lieu

Puisque le gaz du « compartiment A est porté très lentement à la température $T_1$ », on peut dire est que la transformation est très lente.

Conclusion : la transformation subie par le gaz du compartiment A est très lente.

2. De même, analysons l’énoncé.

$\triangleright$ Système étudié : le gaz du compartiment B. C’est un système fermé (aucun échange de matière entre le système et le milieu extérieur ; il ne peut y avoir que des transfert énergétique entre eux), limités par les parois du compartiment.

$\triangleright$ Nature des parois et transferts énergétiques possibles :

  • paroi latérale : athermane (ne permet pas les transferts d’énergie thermique) et fixe (ne permet pas les transferts d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) ;
  • piston : athermane et mobile (permet les transferts d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) sans frottement ;
  • surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{B}$ : diatherme (permet les transferts d’énergie thermique) et fixe.

$\triangleright$ États d’équilibre initial et final du système :

L’état d’équilibre initial du gaz du compartiment B est le même que celui du gaz du compartiement A : $\left\{ \begin{eqnarray}P_\mathrm{i}&=&P_0=10^5~\mathrm{Pa} \nonumber \\ V_\mathrm{i}&=&V_0 \nonumber \\ T_\mathrm{i}&=&T_0=273~\mathrm{K} \nonumber \end{eqnarray} \right.$

Quid de l’état final ?

Pour le système B, la température du milieu extérieur est constante. En effet, la seul paroi à travers laquelle les transferts thermiques entre le système et le milieu extérieur sont permis est la surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{B}$ (diatherme) et cette dernière est en contact avec un thermostat à température $T_0$. On peut donc déjà dire que la transformation est monotherme.

De plus, la température initiale du système est $T_0$. Sachant que la compression du système par le piston (la température du gaz du compartiment A augmentant de $T_0$ à $T_1$, son volume augmente nécessairement et comprime le système) est très lente (« porté très lentement à la température $T_1$ »), on pourra considérer que le système est à chaque instant à l’équilibre thermique avec le milieu extérieur, donc que la température du système est à chaque instant égale à $T_0$. On peut donc aussi déjà dire que la transformation est isotherme. La température finale du système est donc égale à $T_0$.

Concernant la pression finale du système, on peut a priori  penser qu’elle est supérieure à $P_0$ puisque au cours de la transformation, le piston comprime le gaz du compartiement B (et la température du système restant constante). Notons-la $P_\mathrm{f}$.

De même pour pour le volume du système, notons-le $V_\mathrm{f}$ à priori inférieur à $V_0$ du fait de la compression.

On a donc un état d’équilibre final : $\left\{ \begin{eqnarray}P_\mathrm{f}&>&P_0 \nonumber \\ V_\mathrm{f}&<&V_0 \nonumber \\ T_\mathrm{f}&=&T_0=273~\mathrm{K} \nonumber \end{eqnarray} \right.$

$\triangleright$ Caractéristiques du milieu extérieur pendant la transformation :

On vient de voir que la température du milieu extérieure est constante et donc que la transformation est monotherme.

$\triangleright$ Caractéristiques du système pendant la transformation :

On vient de voir que la pression du système n’est à priori pas constante $(P_0 \rightarrow P_\mathrm{f}>P_0)$ donc la transformation n’est pas isobare. De même, le volume du système n’est à priori pas non plus constant $(V_0 \rightarrow V_\mathrm{f}<V_0)$ donc la transformation n’est pas isochore. Par contre, nous avons vu que la température, elle, reste constante tout au long de la transformation, égale à $T_0$, donc la transformation est isotherme.

$\triangleright$ Façon dont la transformation a lieu :

Puisque le piston comprime « très lentement » le système, on peut dire est que la transformation est très lente.

Conclusion : la transformation subie par le système (gaz du compartiment B) est donc isotherme (monotherme + très lente).

3. Les gaz contenus dans les deux compartiments étant parfaits, il faut évidemment penser à la loi des gaz parfait. Exprimons-la à l’état initial de l’un ou l’autre des systèmes (puisque leur état initial est le même).

Nous avons alors

$$P_0V_0=nRT_0 \quad (0)$$

De même, exprimons-la à l’état final de chacun des systèmes (cette fois-ci, ils sont différents). En spécifiant par l’indice $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, les paramètres d’état dans l’état final respectif des gaz contenus dans les compartiments $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ (et avec $T_\mathrm{A}=T_1$ et $T_\mathrm{B}=T_0$), nous obtenons,

$$\left\{\begin{eqnarray} P_\mathrm{A}V_\mathrm{A}&=&nRT_1 \quad (1) \nonumber \\ P_\mathrm{B}V_\mathrm{B}&=&nRT_0 \quad (2) \nonumber \end{eqnarray} \right.$$

Nous cherchons tout d’abord à exprimer les volumes finaux $V_\mathrm{A}$ et $V_\mathrm{B}$. Exploiter individuellement $(1)$ et $(2)$ pour exprimer chacun des volumes ne ménera nul part étant donné que les pressions $P_\mathrm{A}$ et $P_\mathrm{B}$ ne sont pas connues. Par contre, nous savons qu’à l’état d’équilibre final, en l’occurrence l’équilibre mécanique, la pression des deux compartiments est la même (car le piston peut coulisser librement sans frottement). Ainsi, $P_\mathrm{A}=P_\mathrm{B}=P_f$.

En faisant le rapport $\displaystyle \frac{(2)}{(1)}$, nous pouvons ainsi éliminer la pression :

$$\frac{P_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}{P_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}=\frac{nRT_0}{nRT_1} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}}=\frac{T_0}{T_1} \quad (3)$$

Pour l’instant, les deux volume $V_\mathrm{A}$ et $V_\mathrm{B}$ sont liés. Or  les parois du cylindre sont supposées rigides, donc indéformables, ce qui nous permet d’écrire que : $V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}=2V_0$ et donc que $V_\mathrm{B}=2V_0-V_\mathrm{A}$. Ceci nous permet de réécrire $(3)$ sous la forme

$$\begin{eqnarray} \frac{2V_0-V_\mathrm{A}}{V_\mathrm{A}}=\frac{T_0}{T_1}\quad &\Longleftrightarrow& \quad 2V_0-V_\mathrm{A}= \frac{T_0}{T_1}V_\mathrm{A} \nonumber \\ &\Longleftrightarrow& \quad 2V_0= \frac{T_0}{T_1}V_\mathrm{A}+V_\mathrm{A} \nonumber \\ &\Longleftrightarrow& \quad 2V_0= V_\mathrm{A}\left(\frac{T_0}{T_1}+1\right) \nonumber \\ &\Longleftrightarrow& \quad 2V_0= V_\mathrm{A}\left(\frac{T_0+T_1}{T_1}\right) \nonumber \end{eqnarray}$$

Soit $\displaystyle V_\mathrm{A}=\frac{2T_1}{T_0+T_1}V_0$.

Nous pouvons d’ores et déjà constater que, puisque $T_0<T_1$, $\displaystyle \frac{2T_1}{T_0+T_1}>1$ et donc $V_\mathrm{A}>V_0$. Ce qui est cohérent avec la transformation puisque le gaz du compartiment $\mathrm{A}$ est chauffé et que celui du compartiment $\mathrm{B}$ est maintenu à température constante.

Il nous faut maintenant exprimer $V_0$ en fonction des données de l’énoncé. À l’aide de $(0)$, nous obtenons : $\displaystyle V_0=\frac{nRT_0}{P_0}$. D’où

$$V_\mathrm{A}=\frac{2nR}{P_0}\frac{T_0T_1}{T_0+T_1}$$

Nous en déduisons alors $V_\mathrm{B}$ :

$$\begin{eqnarray} V_\mathrm{B}&=&2V_0-V_\mathrm{A}  \nonumber \\ &=& 2\frac{nRT_0}{P_0}-\frac{2nR}{P_0}\frac{T_0T_1}{T_0+T_1} \nonumber \\&=& \frac{2nRT_0}{P_0}\left(1-\frac{T_1}{T_0+T_1}\right) \nonumber \\ &=& \frac{2nRT_0}{P_0}\frac{T_0}{T_0+T_1}\nonumber \\ &=& \frac{2nR}{P_0}\frac{T_0^2}{T_0+T_1} \nonumber \end{eqnarray}$$

Exprimons maintenant $P_f$. Nous avons vu que la position d’équilibre du piston (équilibre mécanique) impliquait que $P_\mathrm{A}=P_\mathrm{B}=P_f$. D’où, d’après $(2)$ par exemple, nous obtenons

$$\begin{eqnarray} P_f&=&P_\mathrm{B} \nonumber \\ &=& \frac{nRT_0}{V_\mathrm{B}} \nonumber\\ &=& nRT_0\frac{P_0(T_0+T_1)}{2nRT_0^2} \nonumber \\ &=& \frac{P_0(T_0+T_1)}{2T_0} \nonumber \end{eqnarray}$$

A.N. : $\left\{ \begin{eqnarray}V_\mathrm{A}&=& \frac{2\times 1 \times 8,31}{10^5}\frac{273\times 373}{273+373}=0,026~\mathrm{m}^3 \nonumber \\ V_\mathrm{B}&=&\frac{2\times 1 \times 8,31}{10^5}\frac{273^2}{273+373}=0,019~\mathrm{m}^3 \nonumber \\ P_\mathrm{f}&=&\frac{10^5(273+373)}{2\times 273}=1,2\cdot 10^5~\mathrm{Pa} \nonumber \end{eqnarray} \right.$

4. Analysons l’énoncé.

$\triangleright$ Système étudié : le gaz du compartiment A. C’est un système fermé (aucun échange de matière entre le système et le milieu extérieur ; il ne peut y avoir que des transfert énergétique entre eux), limités par les parois du compartiment.

$\triangleright$ Nature des parois et transferts énergétiques possibles :

  • paroi latérale et surface de base $\mathrm{S}_\mathrm{A}$ : athermanes (ne permet pas les transferts d’énergie thermique) et fixe (ne permet pas les transferts d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) ;
  • piston : athermane et mobile (permet les transferts d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) sans frottement.

$\triangleright$ États d’équilibre initial et final du système :

état initial : $\left\{ \begin{eqnarray}P_\mathrm{i}&=&P_0=1{,}2\cdot 10^5~\mathrm{Pa} \nonumber \\ V_\mathrm{i}&=&2{,}6 \cdot 10^{-2}~\mathrm{m}^{3} \nonumber \\ T_\mathrm{i}&=&\frac{P_ \mathrm{i}V_\mathrm{i}}{nR} \nonumber \end{eqnarray} \right.\quad $  et état final : $\left\{ \begin{eqnarray}&P_\mathrm{f}& \nonumber \\ &V_\mathrm{f}& \nonumber \\ &T_\mathrm{f}& \nonumber \end{eqnarray} \right.$ 

$\triangleright$ Caractéristiques du milieu extérieur pendant la transformation :

Aucune information remarquable.

$\triangleright$ Caractéristiques du système pendant la transformation :

La pression du système n’est pas constante $(P_\mathrm{i} \rightarrow P_\mathrm{f})$ puique le piston reprend sa position d’équilibre initial, comprimant le système. Donc la transformation n’est pas isobare. De même, le volume du système n’est pas non plus constant $(V_0 \rightarrow V_\mathrm{f})$, et ce pour la même raison. Donc la transformation n’est pas isochore. La température, a priori, varie $(T_i \rightarrow T_f)$, donc la transformation n’est pas isotherme.

Les parois du compartiment A sont athermanes. Aucun échange d’énergie thermique avec le milieu extérieur ne peut y avoir lieu. Le résistor chauffant ne fonctionnant plus, nous sommes dans des conditions d’adiabadicité.

$\triangleright$ Façon dont la transformation a lieu

Puisque le transfert thermique apporté par le résistor $R’$ est tel que le piston reprend très lentement sa position d’équilibre initial, on peut dire est que la transformation est très lente.

Conclusion : la transformation subie par le gaz du compartiment A est très lente et adiabatique.

5. Le système étudié ici, le gaz du compartiment B, subit une transformation qualitativement identique à celle subit par le gaz du compartiement A dans la première partie de l’exercice. La transformation subie par le système est donc très lente.


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