Je vous propose une correction détaillée du Sujet D p. 36 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé du Sujet D p. 36
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$.
Si $f$ est la fonction définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x-1}{x+2}$, alors pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=f(u_n)$.
1.a. Dans un repère orthogonal, placer les points $\mathrm{M}_n(n;u_n)$ pour $0\leqslant n \leqslant 3$.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $(u_n)$ ?
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n-1>0$.
b. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1.b.
3. On se propose d’étudier la suite $(u_n)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $(u_n)$ en fonction de $n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$.
a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$.
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
c. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
L’exercice porte sur l’étude d’une suite $(u_n)$ définie par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence. On peut noter qu’une fonction $f$ est aussi définie, fonction qu’il faudra à l’évidence utiliser à un moment ou à un autre.
Il y a trois questions (avec des sous-questions). Le but de la première est d’énoncer deux conjectures (la première sur la monotonie de la suite et la deuxième sur sa convergence). Dans la deuxième question, il vous faut démontrer ces conjectures. On ne nous donne aucune indication, vous devrez donc trouver la méthode. Dans la troisième, on vous propose d’étudier la suite d’une autre méthode.
Nous pouvons commencer.
Correction du Sujet D p. 36
1.a. Dans un repère orthogonal, placer les points $\mathrm{M}_n(n;u_n)$ pour $0\leqslant n \leqslant 3$
Pour pouvoir placer les points $\mathrm{M}_n(n;u_n)$ pour $0\leqslant n \leqslant 3$, il faut déterminer leurs coordonnées (abscisse et ordonnée).
Le point $\mathrm{M}_0$ a pour coordonnées $(0;u_0)$ avec $u_0=5$. Donc $\mathrm{M}_0(0;5)$.
Le point $\mathrm{M}_1$ a pour coordonnées $(1;u_1)$ avec
\begin{equation} u_1=\frac{4u_0-1}{u_0+2}=\frac{4\times 5-1}{5+2}=\frac{19}{7} \nonumber \end{equation}
Donc $\mathrm{M}_1(1;\dfrac{19}{7})$.
Le point $\mathrm{M}_2$ a pour coordonnées $(2;u_2)$ avec
\begin{equation} u_2=\frac{4u_1-1}{u_1+2}=\frac{4\times \dfrac{19}{7}-1}{\dfrac{19}{7}+2}=\frac{\dfrac{69}{7}}{\dfrac{33}{7}}=\dfrac{69}{7}\times \dfrac{7}{33}=\dfrac{23}{11} \nonumber \end{equation}
Donc $\mathrm{M}_2(2;\dfrac{23}{11})$.
Et enfin, le point $\mathrm{M}_3$ a pour coordonnées $(3;u_3)$ avec
\begin{equation} u_3=\frac{4u_2-1}{u_2+2}=\frac{4\times \dfrac{23}{11}-1}{\dfrac{23}{11}+2}=\frac{\dfrac{81}{11}}{\dfrac{45}{11}}=\dfrac{81}{11}\times \dfrac{11}{45}=\dfrac{9}{5} \nonumber \end{equation}
Donc $\mathrm{M}_3(3;\dfrac{9}{5})$.
Pour placer les points $\mathrm{M}_1$, $\mathrm{M}_2$ et $\mathrm{M}_3$ dans un repère, nous avons besoin d’une valeur approchée de leur ordonnée : $u_1=\dfrac{19}{7}\simeq 2,7$, $u_2=\dfrac{23}{11}\simeq 2,1$ et $u_3=\dfrac{9}{5}\simeq 1,8$.
Plaçons maintenant les points $\mathrm{M}_0$, $\mathrm{M}_1$, $\mathrm{M}_2$ et $\mathrm{M}_3$ dans un repère orthogonal :
1.b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $(u_n)$ ?
Ici, on vous demande d’émettre une première conjecture sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ puis une deuxième sur sa convergence. Et pour ça, les seuls résultats dont vous disposez sont ceux de la question 1.a., résumés sur le graphe précédent.
$\blacktriangleright$ Il faut voir que le point $\mathrm{M}_1$ est « plus bas » que le point $\mathrm{M}_0$, que le point $\mathrm{M}_2$ est « plus bas » que le point $\mathrm{M}_1$ et ainsi de suite, c’est-à-dire que le point $\mathrm{M}_{n+1}$ est « plus bas » que le point $\mathrm{M}_{n}$, pour $0\leq n \leq 2$. Autrement dit l’ordonnée $u_1$ de $\mathrm{M}_1$ est inférieure à l’ordonnée $u_0$ de $\mathrm{M}_0$, soit $u_1<u_0$, de même $u_2<u_1$ et $u_3<u_2$. On a ainsi $u_{n+1}<u_n$ pour $0\leq n \leq 2$. On peut conjecturer (faire l’hypothèse) que $u_{n+1}<u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, c’est-à-dire que la suite est décroissante.
Voilà pour la conjecture concernant les variations de la suite. Passons à la deuxième concernant sa convergence.
$\blacktriangleright$ Il faut remarquer ici que les ordonnées des points, c’est-à-dire les valeurs des termes de la suite $(u_n)$, se rapprochent lorsque $n$ augmente : $u_2$ est plus proche de $u_1$ que ne l’est $u_1$ de $u_0$ et de même $u_3$ est plus proche de $u_2$ que ne l’est $u_2$ de $u_1$. Autrement dit, l’écart entre deux termes successifs de la suite $(u_n)$ diminue lorsque $n$ augmente. On peut conjecturer que les termes de la suite se rapprochent indéfiniment et donc s’accumulent vers une certaine valeur et donc que la suite convergente. On peut même conjecturer qu’elle converge vers $1$.
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n-1>0$.
Il faut utiliser le raisonnement par récurrence tout à fait standard.
Alors allons-y !
Soit la proposition $\text{P}(n):$ « $u_n-1>0$ » pour tout entier naturel $n$. Démontrons par récurrence que $\text{P}(n)$ est vraie.
$\bullet$ Initialisation ($n=0$)
Par définition, $u_0=5$, donc $u_0-1=5-1=4$ et $4>0$ donc $u_0-1>0$ et $\text{P}(0)$ est vraie.
$\bullet$ Hérédité
Supposons qu’il existe un entier naturel $k$ tel que $\text{P}(k)$ soit vraie, c’est-à-dire que $u_k-1>0$. Montrons alors que $\text{P}(k+1)$ est vraie, c’est-à-dire que $u_{k+1}-1>0$.
Par définition $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$, nous avons donc
\begin{eqnarray} u_{k+1}-1=\dfrac{4u_k-1}{u_k+2}-1&=&\dfrac{4u_k-1-u_k-2}{u_k+2} \nonumber\\ &=&\dfrac{3u_k-3}{u_k+2} \nonumber\\&=&\dfrac{3(u_k+2)-9}{u_k+2} \nonumber\\ &=&3-\dfrac{9}{u_k+2}\nonumber \end{eqnarray}
Or par hypothèse de récurrence, $u_k-1>0$ soit $u_k>1$. D’où
\begin{eqnarray} u_k>1 &\Leftrightarrow& u_k+2>3 \nonumber \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{u_k+2}<\frac{1}{3} \nonumber \\ &\Leftrightarrow& -\frac{9}{u_k+2}>-3 \nonumber \\ &\Leftrightarrow& 3-\frac{9}{u_k+2}>0 \nonumber \\ &\Leftrightarrow& u_{k+1}-1>0 \nonumber \end{eqnarray}
Donc $\text{P}(k+1)$ est vraie.
$\bullet$ Conclusion
La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire. Donc d’après le principe de récurrence, $\text{P}(n)$ est vraie pour tout naturel $n$, c’est-à-dire que $u_n-1>0$.
2.b. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1.b.
Il y a donc deux conjectures à démontrer, à savoir que la suite est décroissante et qu’elle converge.
$\blacktriangleright$ Démontrons que $(u_n)$ est décroissante, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Nous allons le faire par récurrence.
Soit la proposition $\text{P}(n):$ « $u_{n+1}<u_n$ » pour tout entier naturel $n$. Démontrons par récurrence que $\text{P}(n)$ est vraie.
$\bullet$ Initialisation ($n=0$)
Démontrons que $\text{P}(0):$ « $u_1<u_0$ » est vraie.
Par définition, $u_0=5$, et $u_1=\dfrac{19}{7}$ (voir 1.a.), nous avons bien $\dfrac{19}{7}<5$ soit $u_1<u_0$. $\text{P}(0)$ est donc vraie.
$\bullet$ Hérédité
Supposons qu’il existe un entier naturel $k$ tel que $\text{P}(k)$ soit vraie, c’est-à-dire que $u_{k+1}<u_k.$ Montrons alors que $\text{P}(k+1)$ est vraie, c’est-à-dire que $u_{k+2}<u_{k+1}$.
Nous allons ici utiliser la fonction $f$ définie dans l’énoncé.
Par définition, $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que $u_{k+2}<u_{k+1}$ revient à démontrer que $f(u_{k+1})<f(u_k)$. Ayant supposé (hypothèse de récurrence) que $u_{k+1}<u_k$, pour montrer que $f(u_{k+1})<f(u_k)$, il nous suffit de montrer que $f$ est croissante. Allons-y !
La fonction $f$ est dérivable sur $]-2; +\infty[$ et pour tout $x \in ]-2; +\infty[$,
\begin{eqnarray} f'(x)=\dfrac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{4x+8-4x+1}{(x+2)^2}=\dfrac{9}{(x+2)^2} \nonumber \end{eqnarray}
Or $\dfrac{9}{(x+2)^2}>0$ pour tout $x \in ]-2; +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $]-2; +\infty[$.
Ainsi, par hypothèse de récurrence, nous avons $u_{k+1}<u_k$. La fonction $f$ étant croissante, cela implique que $f(u_{k+1})<f(u_k)$, soit que $u_{k+2}<u_{k+1}$. $\text{P}(k+1)$ est donc vraie.
$\bullet$ Conclusion
La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire. Donc d’après le principe de récurrence, $\text{P}(n)$ est vraie pour tout naturel $n$, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_n$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
$\blacktriangleright$ Démontrons maintenant que $(u_n)$ converge.
Nous venons à l’instant de démontré que la suite $(u_n)$ est décoissante. De plus nous avons démontré en 2.a. que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n-1>0$, soit $u_n>1$ autrement dit que la suite $(u_n)$ est minorée par $1$. D’après le théorème de convergence d’une suite monotone
$(u_n)$ étant décroissante et minorée, elle est convergente.
3.a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{1}{3}$.
Pour démontrer que $(v_n)$ est arithmétique, on utilise la méthode habituelle, c’est-à-dire on montre que $v_{n+1}-v_n$ est un nombre indépendant de $n$.
Nous avons par définition $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$, d’où $v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}$.
Exprimons alors $v_{n+1}-v_n$ :
\begin{eqnarray} v_{n+1}-v_n&=&\frac{1}{u_{n+1}-1}-v_n \nonumber \end{eqnarray}
Ce que nous cherchons à faire ici, c’est éliminer du membre de droite tous les termes dépendants de $n$ et montrer ainsi que $v_{n+1}-v_n$ est un nombre indépendant de $n$. Il faut ainsi faire apparaître des termes qui puissent se simplifier entre eux. Pour l’instant, nous avons dans le membre de droite $u_{n+1}$ et $v_n$. Nous pouvons tous les deux les exprimer en fonction de $u_n$, il n’y aura plus que dans le membre de droite des termes en $u_n$ et nous pourrons plus facilement les éliminer.
Ainsi, par définition $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}$ et $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$ d’où
\begin{eqnarray} v_{n+1}-v_n&=&\frac{1}{\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-1}-\dfrac{1}{u_n-1} \nonumber\end{eqnarray}
Nous allons maintenant « arranger » le membre de droite pour le simplifier :
\begin{eqnarray} v_{n+1}-v_n&=&\frac{1}{\dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n+2}{u_n+2}}-\dfrac{1}{u_n-1} \nonumber \\ &=& \frac{1}{\dfrac{4u_n-1-u_n-2}{u_n+2}}-\dfrac{1}{u_n-1}\nonumber \\ &=& \frac{1}{\dfrac{3u_n-3}{u_n+2}}-\dfrac{1}{u_n-1}\nonumber \\ &=& \frac{u_n+2}{3u_n-3}-\dfrac{1}{u_n-1} \nonumber \\ &=& \frac{(u_n+2)(u_n-1)-(3u_n-3)}{(3u_n-3)(u_n-1)}\nonumber \\ &=& \frac{u_n^2-u_n+2u_n-2-3u_n+3}{3u_n^2-3u_n-3u_n+3}\nonumber \\ &=& \frac{u_n^2-2u_n+1}{3u_n^2-6u_n+3}\nonumber \\ &=& \frac{u_n^2-2u_n+1}{3(u_n^2-2u_n+1)}\nonumber \\ &=&\frac{1}{3} \nonumber\end{eqnarray}
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$.
3.b. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
Nous avons démontrer (3.a.) que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. Nous pouvons alors écrire :
$$v_n=v_0+\dfrac{1}{3}n.$$
Calculons son premier terme : $v_0=\dfrac{1}{u_0-1}=\dfrac{1}{5-1}=\dfrac{1}{4}$.
D’où son expression en fonction de $n$ :
$$v_n=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}n $$
Nous pouvons en déduire celle de $u_n$ en exprimant $u_n$ en fonction de $v_n$ :
$$v_n=\dfrac{1}{u_n-1} \Leftrightarrow u_n-1=\dfrac{1}{v_n} \Leftrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}+1$$
D’où $$u_n=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}n}+1=\dfrac{15+4n}{3+4n}.$$
3.c. En déduire la limite de $(u_n)$.
Nous avons déterminé le terme général de la suite $(u_n)$ : $u_n=\dfrac{15+4n}{3+4n}$. Étudions la limite de ce quotient :
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (15+4n)=+\infty$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (3+4n)=+\infty$
Nous sommes donc en présence d’une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Pour lever l’indétermination, nous factorisons par $n$ au numérateur et au dénominateur puis nous simplifions (ne surtout pas oublier l’étape de simplification). nous obtenons
$u_n=\dfrac{15+4n}{3+4n}=\dfrac{n\left(\dfrac{15}{n}+4\right)}{n\left(\dfrac{3}{n}+4\right)}=\dfrac{\dfrac{15}{n}+4}{\dfrac{3}{n}+4}$.
Ainsi
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{15}{n}+4\right)=4$
$\bullet$ $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{3}{n}+4\right)=4$
Par limite d’un quotient, nous obtenons $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_n)=1$. La sutie $(u_n)$ est donc convergente et sa limite est $1$.