Connaissant le poids d’un astronaute sur une certaine planète, quel serait son nouveau poids si le rayon de la planète était divisé par deux ? C’est la question à laquelle le présent exercice répond.
Énoncé de l’exercice
– Poids : tout est relatif –
Un astronaute a un poids de $700~$N à la surface de la Terre. Quel sera son poids sur la planète Zygomat si le rayon de cette planète vaut $R_Z=\dfrac{R_T}{2}$ et qu’elle a la même densité que la Terre ?
Corrigé de l’exercice
– Le poids : tout est relatif
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Version texte
Le poids de l’astronaute à la surface de la Terre (de rayon $R_T$) est la force d’interaction gravitationnelle s’exerçant entre la Terre, considérée ponctuelle, de masse $m_T$ et l’astronaute, supposé lui aussi ponctuel de masse $m_a$, distant tous les deux de $R_T$. Elle s’exprime, d’après la loi universelle de la gravitation de Newton, sous la forme :
$$F_T=\mathcal{G}\dfrac{m_a \times m_T}{R_T^2} \qquad \mbox{avec}\quad F_T=700~\mathrm{N}$$
Sur Zygomat, cette force (donc le poids de l’astronaute sur Zygomat) s’exprime sous la forme
$$F_Z=\mathcal{G}\dfrac{m_a \times m_Z}{R_Z^2}$$
Or la masse de Zygomat peut s’ecrire sous la forme
$m_Z=\rho_ZV_Z=\rho_TV_Z$
avec $\rho_Z$ et $\rho_T$ respectivement la masse volumique de Zygomat et celle de la Terre et $V_Z$ le volume de la planète Zygomat. Nous avons $\rho_Z=\rho_T$ car, d’après l’énoncé, la planète Zygomat a la même densité, donc la même masse volumique que la Terre.
De plus
$\begin{eqnarray}V_Z&=& \dfrac{4}{3}\pi R_Z^3 \qquad \mbox{(volume d’une sphère)} \nonumber \\ &=&\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{R_T}{2}\right)^3 \nonumber \\&=&\dfrac{1}{8}\dfrac{4}{3}\pi R_T^3 \nonumber \\ &=& \dfrac{1}{8}V_T \nonumber \end{eqnarray}$
D’où $$m_Z=\rho_T\times\dfrac{1}{8}V_T=\dfrac{1}{8}\rho_TV_T=\dfrac{1}{8}m_T$$
Ainsi, diviser par deux le rayon de la planète revient à diviser par huit sa masse (à masse volumique constant, bien-sûr).
De plus, $R_Z^2=\left(\dfrac{R_T}{2} \right)^2=\dfrac{1}{4}R_T^2$.
Soit finalement
$\begin{eqnarray}F_Z&=&\mathcal{G}\dfrac{m_a\times \frac{1}{8}m_T}{\frac{1}{4}R_T^2} \nonumber \\ &=& \mathcal{G}\dfrac{m_a\times m_T}{2R_T^2} \nonumber \\ &=&\dfrac{1}{2}\mathcal{G}\dfrac{m_a\times m_T}{R_T^2} \nonumber \\ &=&\dfrac{1}{2}F_T \nonumber \end{eqnarray}$
A.N. : Puisque $F_T=700~\mathrm{N}$, nous obtenons $F_Z=\dfrac{1}{2}\times 700=350~\mathrm{N}$.
Le poids de l’astronaute sur Zygomat est de $350~\mathrm{N}$.
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