BCPST1 – Optique – Lentille convergente et objet réel

Quelques précisions et rappels avant de commencer

Nous nous placerons toujours dans les conditions de Gauss, qui sont, rappelons-le, dans le cas d’une lentille :

• rayons peu inclinés par rapport à l’axe optique;
• rayons incidents sur la lentille peu éloignés de l’axe optique.

Rappelons que dans les conditions de Gauss, une lentille est un système approximativement stigmatique et aplanétique. Un système étant dit stigmatique si il donne d’un objet ponctuel une image ponctuelle et il est dit aplanétique si il donne d’un objet perpendiculaire à l’axe optique une image elle-même perpendiculaire à l’axe optique.

L’objet $\mathrm{AB}$ étant perpendiculaire à l’axe optique, son image $\mathrm{A’B’}$ par la lentille sera aussi perpendiculaire à l’axe optique. Nous considérerons que $\mathrm{A}$ est sur l’axe optique, et la lentille étant aplanétique,

Donc il nous suffit de construire les image $\mathrm{A’}$ et $\mathrm{B’}$ des extrémités $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ de l’objet $\mathrm{AB}$.

La lentille étant stigmatique dans les conditions de Gauss, l’image d’un point est un point. Donc tous les rayons passant par l’extrémité $\mathrm{B}$ de l’objet se coupent en un point $\mathrm{B’}$. De même tous les rayons passant par l’extrémité $\mathrm{A}$ de l’objet se coupent en un point $\mathrm{A’}$.

Pour déterminer l’image $\mathrm{B’}$ de $\mathrm{B}$, il suffit de construire deux rayons parmis les trois rayons particuliers (faciles à construire) :

• le rayon passant par $\mathrm{B}$ parallèle à l’axe optique, qui ressort par le foyer image $\mathrm{F’}$ ;
• celui  passant par $\mathrm{B}$ et le centre optique $\mathrm{O}$, qui n’est pas dévié ;
• et celui passant par $\mathrm{B}$ et le foyer objet $\mathrm{F}$, qui ressort parallèlement à l’axe optique.

Le point d’intersection de ces rayons est le point $\mathrm{B’}$.

Pour la construction de l’image $\mathrm{A’}$ de $\mathrm{A}$, c’est plus simple car $\mathrm{A’}$ est nécessairement sur l’axe optique. En effet le rayon passant par $\mathrm{A}$ et $\mathrm{O}$ n’est pas dévié et est confondu avec l’axe optique. De plus nous avions précisé plus haut que l’image $\mathrm{A’B’}$ de $\mathrm{AB}$ était perpendiculaire à l’axe optique. Donc $\mathrm{A’}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{B’}$ sur l’axe optique.

Cas 1 : $\overline{\mathrm{OA}}=-10,0$

1) Pour le premier cas, $\overline{\mathrm{OA}}=-10,0$ cm, nous obtenons la construction suivante :

2) La position de $\mathrm{A’B’}$ est donnée par la distance algébrique $\overline{\mathrm{OA’}}$ qui peut être obtenue à partir de la relation de conjugaison de la lentille : $\displaystyle \dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA’}}}-\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OF’}}}=\dfrac{1}{f’}$.

On obtient alors

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA’}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA}}\times f’}{\overline{\mathrm{OA}}+f’}$

$\overline{\mathrm{OA}}$ et $f’$ étant donnés, nous pouvons en déduire $\overline{\mathrm{OA’}}$.

A.N. : $\displaystyle \overline{\mathrm{OA’}}=\dfrac{-10,0\times 4,0}{-10,0+4,0}=\dfrac{-40,0}{-6,0}=\dfrac{20}{3}\simeq 6,7$ cm

Nous avons $\overline{\mathrm{OA’}}>0$, ce qui implique que l’image est située après la lentille dans le sens de propagation de la lumière. L’image est donc réelle.

3) Le grandissement transversal est donné par la relation :

$\displaystyle \gamma=\dfrac{\overline{\mathrm{A’B’}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA’}}}{\overline{\mathrm{OA}}}$.

Connaissant $\overline{\mathrm{OA}}$ et $\overline{\mathrm{OA’}}$, nous pouvons en déduire $\gamma$.

A.N. : $\displaystyle \gamma=\dfrac{\frac{20}{3}}{-10,0}=-\dfrac{2}{3}$

$\gamma<0$ ce qui implique que l’image est renversée.

$|\gamma|=\dfrac{2}{3}<1$ ce qui implique que l’image est réduite (plus petite que l’objet).

4) L’image d’un objet réel placé en amont du point focal objet d’une lentille convergente est réelle, renversée et réduite.

On vérifie sur le schéma (à l’aide de l’échelle) la cohérence (voire l’exactitude) des résultats numériques obtenus.

Pour le tableau récapitulatif, voir à la fin de la correction.

Cas 2 : $\overline{\mathrm{OA}}=-6,0$

Nous faisons de même pour le deuxième cas : $\overline{\mathrm{OA}}=-6,0$ cm.

1) Nous obtenons la construction suivante :

2) A.N. : par application de la relation de conjugaison

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA’}}=\dfrac{-6,0\times 4,0}{-6,0+4,0}=\dfrac{-24,0}{-2,0}=12,0$ cm

On a $\overline{\mathrm{OA’}}>0$, ce qui implique que l’image est située après la lentille (dans le sens de propagation de la lumière). L’image est donc réelle.

3) A.N. : par application de la relation du grandissement

$\displaystyle \gamma=\dfrac{12,0}{-6,0}=-2$

$\gamma<0$ ce qui implique que l’image est renversée.

$|\gamma|=2>1$ ce qui implique que l’image est agrandie, en l’occurence deux fois plus grande que l’objet.

4) L’image est donc réelle, renversée et agrandie.

On vérifie sur le schéma (à l’aide de l’échelle) la cohérence (voire l’exactitude) des résultats numériques obtenus.

Pour le tableau récapitulatif, voir à la fin de la correction.

Cas 3 : $\overline{\mathrm{OA}}=-4,0$

Nous faisons de même pour le troisième cas : $\overline{\mathrm{OA}}=-4,0$ cm.

1) Nous obtenons la construction suivante :

La particularité de ce cas est que l’objet $\mathrm{AB}$ est dans le plan focal objet puisque $\overline{\mathrm{OA}}=-4,0=\overline{\mathrm{OF}}=f$. Le point $\mathrm{A}$ est donc confondu avec le point focal objet $\mathrm{F}$ et l’on ne peut construire que les deux premiers rayons.

Les rayons émergents sont parallèles. Cela signifie que l’image $\mathrm{A’B’}$ se forme à l’infini.

2) Si l’on essaie de déterminer la position de l’image $\mathrm{A’B’}$ en utilisant la formule de conjugaison, on se trouve face à une indétermination car dans l’expression

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA’}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA}}\times f’}{\overline{\mathrm{OA}}+f’}$

$\overline{\mathrm{OA}}+f’=0$ pour $\overline{\mathrm{OA}}=-4,0$.

Calculons la limite de $\overline{\mathrm{OA’}}$ quand $\overline{\mathrm{OA}}$ tend vers $f=-f’$ par valeur inférieure à $-f’$, autrement dit lorsque l’objet se rapproche infiniment du plan focal objet mais tout en restant en amont de celui ci (avant $\overline{\mathrm{F}}$ dans le sens de propagation de la lumière).

On a

$\left. \begin{eqnarray}\displaystyle \lim_{\overline{\mathrm{OA}} \to -f’ \atop \overline{\mathrm{OA}} \lt -f’}  \overline{\mathrm{OA}}\times f’=-f’^2 \nonumber \\ \mbox{et} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \nonumber \\  \displaystyle \lim_{\overline{\mathrm{OA}} \to -f’ \atop \overline{\mathrm{OA}} \lt -f’} (\overline{\mathrm{OA}}+f’)=0^-\nonumber \end{eqnarray}\right\} \mbox{ donc, par quotient des limites } \displaystyle \lim_{\overline{\mathrm{OA}} \to -f’ \atop \overline{\mathrm{OA}} \lt -f’}\overline{\mathrm{OA’}}=+\infty$

On retrouve bien une image à l’infini.

On a $\overline{\mathrm{OA’}}>0$, ce qui implique que l’image est située après la lentille dans le sens de propagation de la lumière. L’image est donc réelle.

3) Par passage à la limite de la relation donnant le grandissement, on obtient

$\displaystyle \lim_{\overline{\mathrm{OA}} \to -f’ \atop \overline{\mathrm{OA}} \lt -f’}  \gamma=-\infty$

$\gamma<0$ ce qui implique que l’image est renversée.

$|\gamma|>1$ ce qui implique que l’image est agrandie (plus grande que l’objet).

4) L’image d’un objet réel placé dans le plan focal objet d’une lentille convergente est réelle, renversée et agrandie.

On vérifie sur le schéma la cohérence des résultats numériques obtenus.

Pour le tableau récapitulatif, voir à la fin de la correction.

Cas 4 : $\overline{\mathrm{OA}}=-2,0$

Nous faisons de même pour le quatrième cas : $\overline{\mathrm{OA}}=-2,0$ cm

1) Nous obtenons la construction suivante :

Ici, les rayons émergents divergent. Ils ne peuvent donc pas se rencontrer. C’est le point de concours de leur prolongement qui nous donne $\mathrm{B’}$ image de $\mathrm{B}$.

2) A.N. : par application de la relation de conjugaison

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA’}}=\dfrac{-2,0\times 4,0}{-2,0+4,0}=\dfrac{-8,0}{2,0}=-4,0$ cm

On a $\overline{\mathrm{OA’}}<0$, ce qui implique que l’image est située avant la lentille (dans le sens de propagation de la lumière). L’image est donc virtuelle.

3) A.N. : par application de la relation du grandissement

$\displaystyle \gamma=\dfrac{-4,0}{-2,0}=2$

$\gamma>0$ ce qui implique que l’image est droite.

$|\gamma|=2>1$ ce qui implique que l’image est agrandie, en l’occurence deux fois plus grande que l’objet.

4) L’image d’un objet réel placé entre le point focal objet et le centre optique d’une lentille convergente est virtuelle, droite et agrandie.

La configuration présente, à savoir un objet placé à une distance de la lentille convergente inférieure à la distance focale, permet d’obtenir l’effet loupe.

On vérifie sur le schéma (à l’aide de l’échelle) la cohérence (voire l’exactitude) des résultats numériques obtenus.

Nous obtenons le tableau récapitulatif :