BCPST1 – Thermodynamique – Transformation d’un mélange gaz-solide

Avant d’aborder l’exercice à proprement parler, effectuons une analyse de l’énoncé de l’exercice. C’est un travail qu’il est intéressant de faire systématiquement avant d’attaquer les questions. Pour cela, appliquons la méthode constituée des étapes suivantes :

1. Définir le système étudié (le milieu extérieur sera tout le reste) ;
2. Étudier les transfert d’énergie possibles avec le milieu extérieur à travers les parois selon leur nature ;
3. Décrire les états d’équilibre initial et final de la transformation que subit le système ;
4. Étudier les caractéristiques du milieu extérieur au cours de la transformation (monotherme, monobare) ;
5. Étudier les caractéristiques du système au cours de la transformation (isotherme, isobare, isochore) ;
6. Étudier la façon dont la transformation à lieu (lente, brutale).

1. Définition du système

Le système étudié est le mélange air-cuivre contenu dans le cylindre. Il est composé de deux sous-systèmes : le premier est l’air et le deuxième, le cuivre. C’est un système fermé (aucun échange de matière entre le système et le milieu extérieur; il ne peut y avoir que des transfert énergétiques entre eux), limité par les parois du piston.

2. Étude des transferts d’énergie possible entre le système et le milieu extérieur en fonction de la nature des parois :

• paroi latérale : athermane (ne permet pas les transfert d’énergie thermique) et fixe (ne permet pas les transfert d’énergie mécanique liés aux forces pressantes) ;
• piston : athermane et mobile (permet les transferts d’énergie mécanique) sans frottement ;
• paroi du fond $(\mathrm{F})$ : diatherme (permet les transfert thermique) et fixe.

3. Description des états d’équilibre initial et final du système

$\triangleright$ État d’équilibre initial du système (avant la mise en contact avec le thermostat) :

• pression $P_i=P_0$ : car le piston (mobile et pouvant glisser sans frottement) est immobile, ce qui implique que la résultante des forces pressante sur le piston est nulle (système en équilibre mécanique) et donc que la pression du système est égale à la pression extérieure, soit $P_0$ ;
• volume $V_i=V_0$ (par définition);
• température $T_i=T_0$: car le système, étant resté très longtemps en contact avec le milieu extérieur à la température $T_0$, a atteint, par l’intermédiaire de la paroi $(\mathrm{F})$, un état d’équilibre thermique avec ce dernier, ce qui implique que sa température est égale à la température extérieure, soit $T_0$.

$\triangleright$ État d’équilibre final du système :

• pression $P_f=P_0$ : car le système, ayant atteint à nouveau l’équilibre, en l’occurrence l’équilibre mécanique (le piston pouvant se déplacer sans frottement), sa pression est donc à nouveau égale à la pression extérieure, soit $P_0$ ;
• volume $V_f=0,95V_0$ : car le volume du système, initialement égal à $V_0$, subit une diminution de $5~\%$, ce qui implique que le volume final est égal à $95~\%$ du volume initial, soit $0,95V_0$ ;
• température $T_f=T_1$ : car le système ayant atteint l’équilibre, en l’occurrence l’équilibre thermique (par l’intermédiaire de la paroi $(\mathrm{F})$), sa température est donc égale à la température du thermostat, soit $T_1$.

Le système subit donc une transformation d’un état d’équilibre initial caractérisé par les paramètres d’état $(P_0, V_0, T_0)$ à un état d’équilibre final caractérisé par les paramètres d’état $(P_0, 0,95V_0, T_1)$.

4. Étudie des caractéristiques du milieu extérieur au cours de la transformation

La pression du milieu extérieur restant constante, égale à $P_0$, au cours de la transformation subie par le système, la transformation est monobare.

La température du milieu extérieur n’etant pas constante ($T_0 \longrightarrow T_1$), la transformation n’est pas monotherme.

5. Étude des caractéristiques du système au cours de la transformation

Le volume du système n’est pas constant ($V_0 \longrightarrow 0,95V_0$), donc la transformation n’est pas isochore. De même, la température n’est pas constante ($T_0 \longrightarrow T_1$), donc la transformation n’est pas isotherme. Concernant la pression, aucune information ne nous permet de conclure. On pourrait néanmoins penser, puisque l’on laisse système atteindre l’équilibre, sans « brusquer les choses », que la pression y reste constante tout au long de la transformation.

6. Étude de la façon dont la transformation à lieu

Comme précisé en 5., on laisse le système atteindre l’équilibre sans « brusquer les choses ». La transformation peut à priori être considérée lente.

Les informations obtenues dans l’étude que nous venons de réalisée ne constituent pas des réponses aux questions de l’exercice, mais vont nous faciliter le travail.

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Nous pouvons commencer l’exercice à proprement parler.

1. Le volume du cuivre (sous-système du système air-cuivre) est considéré constant (phase condensée). La transformation qu’il subit est donc isochore (alors que la transformation du système lui-même n’est pas isochore).

2. La pression extérieur est constante, $P_0=1~\mathrm{bar}$, donc la transformation subie par l’air est monobare.

3. Il faut ici déterminer la température $T_1$ (température du thermostat et donc température d’équilibre du système). Il faut penser ici à appliquer la loi des gaz parfait au sous-sytème air dans les états d’équilibre, initial et final. C’est le fait que nous disposons d’information sur la pression, le volume, la température et le nombre de mole d’air qui doit nous aiguiller. Il y a juste une précaution à prendre puisque le volume du système air-cuivre n’est pas le volume de l’air (le cuivre occupant un certain volume). C’est de s’assurer que l’on peut assimiler le volume du système air-cuivre (qui est le volume du cylindre) à celui de l’air. Pour cela, montrons que le volume de cuivre est négligeable devant celui de l’air.

Commençons par déterminer le volume occupé par le cuivre. Concernant le cuivre, les informations dont nous disposons sont sa masse, $m_\mathrm{Cu}=270~\mathrm{g}$, et sa densité, $d_\mathrm{Cu}=8,9$. Or nous savons que le volume est relié à la masse et à la masse volumique par la relation

$$V_\mathrm{Cu}=\frac{m_\mathrm{Cu}}{\rho_\mathrm{Cu}}$$

et que la masse volumique du cuivre (solide) est reliée à sa densité et à la masse volumique de l’eau, $\rho_\mathrm{eau}=1000~\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$, par la relation

$$\rho_\mathrm{Cu}=d_\mathrm{Cu}\times \rho_\mathrm{eau}.$$

D’où

$$V_\mathrm{Cu}=\frac{m_\mathrm{Cu}}{d_\mathrm{Cu}\times \rho_\mathrm{eau}}.$$

A.N. : $\displaystyle V_\mathrm{Cu}=\frac{270\cdot 10^{-3}}{8,9 \times 1000}=3,0\cdot 10^{-5}~\mathrm{m}^{3}$.

Le volume occupé par l’air maintenant. L’air étant considéré comme un gaz parfait (hypothèse 1), nous avons

$$P_0V_\mathrm{air}=nRT_0 $$

d’où

$$\displaystyle V_\mathrm{air}=\frac{nRT_0}{P_0}$$

A.N. : $\displaystyle V_\mathrm{air}=\frac{1\times 8,31 \times 300}{1,013\cdot 10^5}=2,5\cdot 10^{-2}~\mathrm{m}^{3}$

Ainsi, $\displaystyle \frac{V_\mathrm{Cu}}{V_\mathrm{air}}\sim 10^{-3}\ll 1$ et donc on peut négliger le volume occupé par le cuivre et assimiler le volume de l’air au volume du système (hypothèse 2).

Nous pouvons alors appliquer l’équation des gaz parfait à l’air dans les deux états d’équilibre initial et final :

– état initial : $P_0V_0=nRT_0 \quad (1)$

– état final : $P_0\times 0,95V_0=nRT_1 \quad (2)$

En faisant le rapport $\displaystyle \frac{(2)}{(1)}$ des deux expressions, membre à membre, nous obtenons

$\displaystyle \frac{T_1}{T_0}=0,95$, soit $\quad T_1=0,95T_0$.

A.N. : $T_1=0,95\times 300=285~\mathrm{K}$.

4. Le température du thermostat, $T_1=285~\mathrm{K}$, étant inférieur à la température initiale du système, $T_0=300~\mathrm{K}$, ce dernier a été refroidi. Le transfert de chaleur a donc eu lieu du système vers le thermostat. Le transfert thermique algébriquement reçu par le système air-cuivre au cours de la transformation menant de l’état initial à l’état final est donc négatif : $Q_{\mathrm{i}\rightarrow \mathrm{f}}<0$.