Vous trouverez ici quelques exercices corrigés sur les suites numériques. Il s’agit d’exercices d’application directe du cours sur le calcul des termes d’une suite. Leur objectif est donc de vous apprendre à calculer les termes d’une suite lorsque la suite est définie de manière explicite ou lorsqu’elle est définie à l’aide d’une relation de récurrence.
On rappelle la partie du cours sur les deux manières de définir une suite (relation explicite et par récurrence) et sur le calcul les termes successifs d’une suite :
Tous les exercices proposés ici proviennent du manuel de Première S Indice Bordas 2011. Pour chaque exercice, la référence sera précisée entre parenthèse.
Énoncé (Exercice 26 p. 121)
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{N}$ par :
$u_n=2n^2-1$ et $\left\{\begin{array}{l} v_0=0 \\ v_{n+1}=2v_n^2-1 \end{array}\right.$
1. Calculons les trois premiers termes de ces suites.
2. Calculer le cinquième terme de ces suites.
Remarques
- La suite $u$ est définie de manière explicite (terme général $u_n$ donné en fonction de $n$) et la suite $v$ par une relation de récurrence (terme $v_{n+1}$ donné en fonction du terme précédent $v_n$) ;
- Les suites $u$ et $v$ étant définies pour tout entier naturel (autrement dit sur $\mathbb{N}$), la première valeur de $n$ est $0$ et donc, pour les deux suites, le premier terme est celui d’indice $0$, le deuxième terme est celui d’indice $1$,….
Corrigé
1. Les trois premiers termes de la suite $u$ sont $u_0$, $u_1$ et $u_2$ tels que :
$u_0=2\times 0^2-1=2\times 0-1=-1$,
$u_1=2\times 1^2-1=2\times 1-1=1$,
$u_2=2\times 2^2-1=2\times 4-1=7$.
Pour ce qui est de la suite $v$, d’après l’énoncé le premier terme est $v_0=0$, les deuxième et troisième termes sont donc, par application de la relation de récurrence
$v_1=v_{0+1}=2v_0^2-1=2\times 0^2-1=2\times 0-1=-1$,
$v_2=v_{1+1}=2v_1^2-1=2\times (-1)^2-1=2\times 1-1=1$.
2. Comme précisé en remarques préliminaires, puisque les suites $u$ et $v$ sont définies pour tout entier naturel le premier terme est celui d’indice $0$ et donc le cinquième terme est celui d’indice $4$.
Pour la suite $u$ on obtient le cinquième terme :
$u_4=2\times 4^2-1=2\times 16-1=15$.
Pour calculer le cinquième terme de la suite $v$, il nous faut connaître le quatrième. Or pour calculer ce dernier, il nous faut le troisième terme, que nous avons calculer en 1. D’où
$v_3=2v_2^2-1=2\times 1^2-1=2\times 1-1=1$
et donc
$v_4=2v_3^2-1=2\times 1^2-1=2\times 1-1=1$.
Énoncé (Exercice 28 p. 121)
Pour chacune des suites données, calculer les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_{100}$ quand c’est possible.
1. $u_n=n-\sqrt{n^2+9}\qquad$ 2. $u_n=\dfrac{n+5}{n(n-1)}$
Remarque
- les deux suites sont définies de manière explicite (terme général $u_n$ en fonction de $n$).
Corrigé
1. Posons $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$ telle que $u_n=f(n)$. $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ donc nous pouvons calculer les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_{100}$ :
$u_0=f(0)=0-\sqrt{0^2+9}=\sqrt 9=3$,
$u_1=f(1)=1-\sqrt{1^2+9}=1-\sqrt{1+9}=1-\sqrt{10}$,
$u_2=f(2)=2-\sqrt{2^2+9}=2-\sqrt{4+9}=1-\sqrt{13}$,
$u_{100}=f(100)=100-\sqrt{100^2+9}=100-\sqrt{10~000+9}=100-\sqrt{10~009}$,
2. Posons $g(x)=\dfrac{x+5}{x(x-1)}$ telle que $u_n=g(n)$. $g$ n’est pas définie pour $x=0$ et $x=1$ (car pour ces deux valeurs, le dénominateur s’annule). Nous ne pouvons donc calculer ni $u_0$, ni $u_1$. Par contre nous pouvons calculer les termes $u_2$ et $u_{100}$ :
$u_2=g(2)=\dfrac{2+5}{2(2-1)}=\dfrac{7}{2}$,
$u_{100}=g(100)=\dfrac{100+5}{100(100-1)}=\dfrac{105}{9~900}=\dfrac{7}{660}$.
Énoncé (Exercice 34 p. 121)
Pour les suites données, calculer en fonction de $n$, les nombres : $u_{n-1}$, $u_{n+1}$, $u_{n+2}$, $u_n+1$ et $u_{2n}$.
1. $u_n=n^2-3n+1\qquad$ 2. $u_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$
Corrigé
1. Nous avons $u_n=n^2-3n+1$. Pour calculer $u_{n-1}$, nous substituons à l’indice $n$, dans l’expression précédente, l’indice $n-1$. D’où
$u_{n-1}=(n-1)^2-3(n-1)+1$.
Nous développons (pour le premier terme, nous pouvons utiliser une identité remarquable), simplifions et nous obtenons
$u_{n-1}=n^2-5n+5$.
En procédant de la même façon, nous obtenons
$u_{n+1}=(n+1)^2-3(n+1)+1=n^2-n-1$,
$u_{n+2}=(n+2)^2-3(n+2)+1=n^2+n-1$.
Pour $u_n+1$, nous obtenons
$u_n+1=n^2-3n+1+1=n^2-3n+2$.
Puis, pour $u_{2n}$, nous procédons comme pour les trois premiers nombres :
$u_{2n}=(2n)^2-3(2n)+1=4n^2-6n+1$.
2. Nous procédons comme au 1. Ainsi pour les trois premiers nombres, nous obtenons
$u_{n-1}=\dfrac{(n-1)+1}{2(n-1)+3}=\dfrac{n}{2n+1}$,
$u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{2(n+1)+3}=\dfrac{n+2}{2n+5}$,
$u_{n+2}=\dfrac{(n+2)+1}{2(n+2)+3}=\dfrac{n+3}{2n+7}$,
Pour $u_n+1$, nous obtenons, après mise au même dénominateur puis simplification
$u_n+1=\dfrac{n+1}{2n+3}+1=\dfrac{n+1}{2n+3}+\dfrac{2n+3}{2n+3}=\dfrac{3n+4}{2n+3}$.
Puis, pour $u_{2n}$, nous obtenons
$u_{2n}=\dfrac{2n+1}{2(2n)+3}=\dfrac{2n+1}{4n+3}$.
Énoncé (Exercice 36 p. 121)
La suite $u$ est définie par $u_0=2$ et par la relation de récurrence donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
1. $u_{n+1}=3u_n-2 \quad$ 2. $u_{n+1}=1-(u_n)^2 \quad$ 3. $u_{n+1}=\dfrac{3+u_n}{1-u_n} \quad$ 4. $u_{n+1}=\dfrac{2}{u_n}+1$
Corrigé
1. Par définition $u_0=2$.
Pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$, la relation de récurrence donne respectivement
$u_{0+1}=u_1=3\times u_0 -2=3\times 2-2=4$,
$u_{1+1}=u_2=3\times u_1-2=3\times 4-2=10$,
$u_{2+1}=u_3=3\times u_2-2=3\times 10-2=28$.
2. De même, nous avons
$u_{0+1}=u_1=1-(u_0)^2=1-2^2=1-4=-3$,
$u_{1+1}=u_2=1-(u_1)^2=1-(-3)^2=1-9=-8$,
$u_{2+1}=u_3=1-(u_2)^2=1-(-8)^2=1-64=–63$.
3. De même, nous avons
$u_1=\dfrac{3+u_0}{1-u_0}=\dfrac{3+2}{1-2}=\dfrac{5}{-1}=-5$,
$u_2=\dfrac{3+u_1}{1-u_1}=\dfrac{3-5}{1+6}=\dfrac{-2}{7}=-\dfrac{2}{7}$,
$u_3=\dfrac{3+u_2}{1-u_2}=\dfrac{3-\dfrac{2}{7}}{1+\dfrac{2}{7}}=\dfrac{\dfrac{21-2}{7}}{\dfrac{7+2}{7}}=\dfrac{\dfrac{19}{7}}{\dfrac{9}{7}}=\dfrac{19}{7}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{19}{9}$.
4. De même, nous avons
$u_1=\dfrac{2}{u_0}+1=\dfrac{2}{2}+1=1+1=2$,
$u_2=\dfrac{2}{u_1}+1=\dfrac{2}{2}+1=1+1=2$,
$u_3=\dfrac{2}{u_2}+1=\dfrac{2}{2}+1=1+1=2$.
Énoncé (Exercice 41 p. 121)
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=1$, $u_1=1$ et la relation $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.
Calculer $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$, $u_6$, $u_7$ et $u_8$.
Corrigé
Par définition $u_0=1$ et $u_1=1$.
Pour $n=0$, la relation de récurrence donne
$u_{0+2}=u_{0+1}+u_0$ soit
$u_2=u_1+u_0=1+1=2$.
En procédant de la même manière, la relation de récurrence donne respectivement pour $n=1$, $n=2$, $n=3$, $n=4$, $n=5$ et $n=6$ :
$u_3=u_2+u_1=2+1=3$,
$u_4=u_3+u_2=3+2=5$,
$u_5=u_4+u_3=5+3=8$,
$u_6=u_5+u_4=8+5=13$,
$u_7=u_6+u_5=13+8=21$,
$u_8=u_7+u_6=21+13=34$.