Suites numériques – Définition, calcul de termes

Vous trouverez ici quelques exercices corrigés sur les suites numériques. Il s’agit d’exercices d’application directe du cours sur le calcul des termes d’une suite. Leur objectif est donc de vous apprendre à calculer les termes d’une suite lorsque la suite est définie de manière explicite ou lorsqu’elle est définie à l’aide d’une relation de récurrence.

On rappelle la partie du cours sur les deux manières de définir une suite  (relation explicite et par récurrence) et sur le calcul les termes successifs d’une suite :

Rappel : Définition d'une suite numérique, calcul des termes
Définition

Une suite numérique réelle est une fonction

\begin{eqnarray}u : &\ \mathbb{N}& \longrightarrow \mathbb{R} \nonumber \\ &\ n& \longmapsto u_n \nonumber \end{eqnarray}

définie sur l’ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels et à valeurs dans $\mathbb{R}$. C’est donc une fonction dont la variable est un entier naturel.

L’image de l’entier naturel $n$ par la suite $u$, noté $u_n$, est appelé terme général de la suite ou terme d’indice ou de rang $n$ de la suite.

Remarques :

$\triangleright$ La suite est aussi notée $(u_n)$ ou $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ou encore $(u_n)_{n\geqslant 0}$ ;

$\triangleright$ La suite peut être définie seulement pour les entiers supérieurs à une valeur donnée $n_0$ ; elle est alors notée $(u_n)_{n\geqslant n_0}$.

Comprenez bien qu’une suite est une fonction dans le sens où à un nombre elle associe un autre nombre. La seule différence avec les fonctions que vous avez étudié jusqu’à maintenant est que le « le nombre de départ », la variable, ne peut être qu’un entier naturel $0,\ 1,\ 2,\ 3$ … c’est-à-dire un élément de $\mathbb{N}$.

Il existe aussi une différence de notation. Là où, pour les fonctions, on notait $f(x)$ le nombre associé à $x$ par la fonction $f$, pour les suites on note $u_n$ le nombre associé à $n$ par la suite $u$.

Différentes façons de définir une suite

Une suite numérique peut être définie principalement de deux façons :

  • par la donnée de la relation explicite (c’est-à-dire en fonction de $n$) de son terme général $u_n$ ou, ce qui revient au même, par la donnée d’une fonction $f$ de la variable $n$ telle que $u_n=f(n)$ ;
  • au moyen d’une relation de récurrence : $(u_n)$ est alors définie par son premier terme et une relation de permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

 

  Exemples de suites définies par une relation explicite

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=n+1$.

Calculons les cinq premiers termes de la suite.


La suite $u$ étant définie sur $\mathbb{N}$ (ensemble des entiers naturels : $0, 1, 2, 3, …$), la première valeur de $n$ est donc $0$ et le premier terme de la suite est celui d’indice $0$. Pour déterminer le terme d’indice $0$, noté $u_0$, on remplace la variable $\color{blue}{n}$ dans l’expression $u_{\color{blue}{n}}=\color{blue}{n}+1$ par $\color{orange}{0}$, ainsi, $u_{\color{orange}{0}}=\color{orange}{0}+1=1$.

Ainsi, en procédant de la même manière, on obtient les cinq premiers termes de la suite :

$u_{\color{orange}{0}}=\color{orange}{0}+1=1$,

$u_{\color{orange}{1}}=\color{orange}{1}+1=2$,

$u_{\color{orange}{2}}=\color{orange}{2}+1=3$,

$u_{\color{orange}{3}}=\color{orange}{3}+1=4$,

$u_{\color{orange}{4}}=\color{orange}{4}+1=5$.

 


Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=2x-3$. On définie la suite $(u_n)$ pour tout entier naturel $n$ par $u_n=f(n)$.

1. Explicitons le terme général de la suite $(u_n)$.

2. Calculons les cinq premiers termes de la suite.


1. Par définition, $u_n=f(n)$. Puisque $f(x)=2x-3$, nous avons $f(n)=2n-3$. D’où le terme général de la suite est

$u_n=f(n)=2n-3$.

2. La suite $u$ étant définie pour tout entier naturel, la première valeur de $n$ est $0$ et donc le premier terme de la suite est le terme d’indice $0$, soit $u_0$. Les cinq premiers termes de la suite sont donc :

$u_{\color{orange}{0}}=f(\color{orange}{0})=2\times \color{orange}{0}-3=0-3=-3$,

$u_{\color{orange}{1}}=f(\color{orange}{1})=2\times \color{orange}{1}-3=2-3=-1$,

$u_{\color{orange}{2}}=f(\color{orange}{2})=2\times \color{orange}{2}-3=4-3=1$,

$u_{\color{orange}{3}}=f(\color{orange}{3})=2\times \color{orange}{3}-3=6-3=3$,

$u_{\color{orange}{4}}=f(\color{orange}{4})=2\times \color{orange}{4}-3=8-3=5$.

 


Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=-3n^2+1$.

1. Déterminons une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=f(n)$.

2. Calculons les cinq premiers termes de la suite.


1. En considérant la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=-3x^2+1$, nous avons bien $f(n)=-3n^2+1$. Donc pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=-3n^2+1=f(n)$.

Ainsi la fonction $f$ recherchée est $f(x)=-3x^2+1$, définie sur $[0 ; +\infty[$.

2. La suite $u$ étant définie pour tout entier naturel, la première valeur de $n$ est $0$ et donc le premier terme de la suite est le terme d’indice $0$, soit $u_0$. Les cinq premiers termes de la suite sont donc:

$u_{\color{orange}{0}}=f(\color{orange}{0})=-3\times \color{orange}{0}^2+1=-3\times 0+1=1$,

$u_{\color{orange}{1}}=f(\color{orange}{1})=-3\times \color{orange}{1}^2+1=-3\times 1+1=-2$,

$u_{\color{orange}{2}}=f(\color{orange}{2})=-3\times \color{orange}{2}^2+1=-3\times 4+1=-11$,

$u_{\color{orange}{3}}=f(\color{orange}{3})=-3\times \color{orange}{3}^2+1=-3 \times 9+1=-26$,

$u_{\color{orange}{4}}=f(\color{orange}{4})=-3\times \color{orange}{4}^2+1=-3 \times 16+1=-47$.

 


Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$, $n\geqslant 1$ par $v_n=1+\dfrac{1}{n}$.

1. Déterminons une fonction $g$ définie sur $[1 ; +\infty[$ telle que, pour tout $n\geqslant 1$, $v_n=g(n)$.

2. Calculons les cinq premiers termes de la suite.


1. Si l’on considère ici la fonction $g$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $g(x)=1+\dfrac{1}{x}$, nous avons $g(n)=1+\dfrac{1}{n}$. Donc pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_n=1+\dfrac{1}{n}=g(n)$.

Ainsi la fonction $g$ recherchée est $g(x)=1+\dfrac{1}{x}$, définie sur $[1 ; +\infty[$.

2. La suite $v$ étant définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, la première valeur de $n$ est $1$ et donc le premier terme de la suite est le terme d’indice $1$, soit $v_1$. Les cinq premiers termes de la suite sont donc:

$v_{\color{orange}{1}}=g(\color{orange}{1})=1+\dfrac{1}{\color{orange}{1}}=2$,

$v_{\color{orange}{2}}=g(\color{orange}{2})=1+\dfrac{1}{\color{orange}{2}}=\dfrac{3}{2}$,

$v_{\color{orange}{3}}=g(\color{orange}{3})=1+\dfrac{1}{\color{orange}{3}}=\dfrac{4}{3}$,

$v_{\color{orange}{4}}=g(\color{orange}{4})=1+\dfrac{1}{\color{orange}{4}}=\dfrac{5}{4}$,

$v_{\color{orange}{5}}=g(\color{orange}{5})=1+\dfrac{1}{\color{orange}{5}}=\dfrac{6}{5}$

 

Exemples de suites définies par une relation de récurrence

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation $u_{n+1}=-3u_n+2$.

Calculons les cinq premiers termes de la suite.


Il faut apprendre à manipuler une telle relation de récurrence

$u_{n+1}=-3u_n+2$

qui permet connaissant un terme de déterminer le terme suivant. Ainsi, connaissant le premier terme de la suite, $u_0$, nous pouvons calculer le suivant, $u_1$. Pour cela, dans la relation de récurrence, nous posons $n=0$, car ce faisant, nous obtenons

$u_{\color{orange}{0}+1}=u_1=-3u_{\color{orange}{0}}+2=-3\times 1+2=-1$

Puisque le premier terme était donné dans l’énoncé et que nous venons de calculer le deuxième terme, il nous reste à calculer les trois suivants :

$u_2=u_{\color{orange}{1}+1}=-3u_{\color{orange}{1}}+2=-3\times (-1)+2=5$,

$u_3=u_{\color{orange}{2}+1}=-3u_{\color{orange}{2}}+2=-3\times (5)+2=-13$,

$u_4=u_{\color{orange}{3}+1}=-3u_{\color{orange}{3}}+2=-3\times (-13)+2=41$.

 


Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

$\left\{\begin{array}{l}  v_0=1 \\  v_{n+1}=2v_n^2+1 \end{array}\right.$

Calculons les cinq premiers termes de la suite.


D’après l’énoncé on a $v_0=1$, d’où, en procédant de la même manière que dans l’exercice précédent, nous obtenons les quatre termes suivants

$v_1=v_{0+1}=2v_0^2+1=2\times 1^2+1=3$,

$v_2=v_{1+1}=2v_1^2+1=2\times 3^2+1=19$,

$v_3=v_{2+1}=2v_2^2+1=2\times 19^2+1=723$,

$v_4=v_{3+1}=2v_3^2+1=2\times 723^2+1=1~045~459$.

Tous les exercices proposés ici proviennent du manuel de Première S Indice Bordas 2011. Pour chaque exercice, la référence sera précisée entre parenthèse.

 

Énoncé (Exercice 26 p. 121)


On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{N}$ par :

$u_n=2n^2-1$ et $\left\{\begin{array}{l}  v_0=0 \\  v_{n+1}=2v_n^2-1 \end{array}\right.$

1. Calculons les trois premiers termes de ces suites.

2. Calculer le cinquième terme de ces suites.


Remarques

  • La suite $u$ est définie de manière explicite (terme général $u_n$ donné en fonction de $n$) et la suite $v$ par une relation de récurrence (terme $v_{n+1}$ donné en fonction du terme précédent $v_n$) ;
  • Les suites $u$ et $v$ étant définies pour tout entier naturel (autrement dit sur $\mathbb{N}$), la première valeur de $n$ est $0$ et donc, pour les deux suites, le premier terme est celui d’indice $0$, le deuxième terme est celui d’indice $1$,….

 

Corrigé

1. Les trois premiers termes de la suite $u$ sont $u_0$, $u_1$ et $u_2$ tels que :

$u_0=2\times 0^2-1=2\times 0-1=-1$,
$u_1=2\times 1^2-1=2\times 1-1=1$,
$u_2=2\times 2^2-1=2\times 4-1=7$.

Pour ce qui est de la suite $v$, d’après l’énoncé le premier terme est $v_0=0$, les deuxième et troisième termes sont donc, par application de la relation de récurrence

$v_1=v_{0+1}=2v_0^2-1=2\times 0^2-1=2\times 0-1=-1$,
$v_2=v_{1+1}=2v_1^2-1=2\times (-1)^2-1=2\times 1-1=1$.

 

2. Comme précisé en remarques préliminaires, puisque les suites $u$ et $v$ sont définies pour tout entier naturel le premier terme est celui d’indice $0$ et donc le cinquième terme est celui d’indice $4$.

Pour la suite $u$ on obtient le cinquième terme :

$u_4=2\times 4^2-1=2\times 16-1=15$.

Pour calculer le cinquième terme de la suite $v$, il nous faut connaître le quatrième. Or pour calculer ce dernier, il nous faut le troisième terme, que nous avons calculer en 1. D’où

$v_3=2v_2^2-1=2\times 1^2-1=2\times 1-1=1$

et donc

$v_4=2v_3^2-1=2\times 1^2-1=2\times 1-1=1$.

 

Énoncé (Exercice 28 p. 121)


Pour chacune des suites données, calculer les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_{100}$ quand c’est possible.

1. $u_n=n-\sqrt{n^2+9}\qquad$  2. $u_n=\dfrac{n+5}{n(n-1)}$


Remarque

  • les deux suites sont définies de manière explicite (terme général $u_n$ en fonction de $n$).

 

Corrigé

1. Posons $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$ telle que $u_n=f(n)$. $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ donc nous pouvons calculer les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_{100}$ :

$u_0=f(0)=0-\sqrt{0^2+9}=\sqrt 9=3$,

$u_1=f(1)=1-\sqrt{1^2+9}=1-\sqrt{1+9}=1-\sqrt{10}$,

$u_2=f(2)=2-\sqrt{2^2+9}=2-\sqrt{4+9}=1-\sqrt{13}$,

$u_{100}=f(100)=100-\sqrt{100^2+9}=100-\sqrt{10~000+9}=100-\sqrt{10~009}$,

 

2. Posons $g(x)=\dfrac{x+5}{x(x-1)}$ telle que $u_n=g(n)$. $g$ n’est pas définie pour $x=0$ et $x=1$ (car pour ces deux valeurs, le dénominateur s’annule). Nous ne pouvons donc calculer ni $u_0$, ni $u_1$. Par contre nous pouvons calculer les termes $u_2$ et $u_{100}$ :

$u_2=g(2)=\dfrac{2+5}{2(2-1)}=\dfrac{7}{2}$,

$u_{100}=g(100)=\dfrac{100+5}{100(100-1)}=\dfrac{105}{9~900}=\dfrac{7}{660}$.

 

Énoncé (Exercice 34 p. 121)


Pour les suites données, calculer en fonction de $n$, les nombres : $u_{n-1}$, $u_{n+1}$, $u_{n+2}$, $u_n+1$ et $u_{2n}$.

1. $u_n=n^2-3n+1\qquad$  2. $u_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$


 

Corrigé

1. Nous avons $u_n=n^2-3n+1$. Pour calculer $u_{n-1}$, nous substituons à l’indice $n$, dans l’expression précédente, l’indice $n-1$. D’où

$u_{n-1}=(n-1)^2-3(n-1)+1$.

Nous développons (pour le premier terme, nous pouvons utiliser une identité remarquable), simplifions et nous obtenons

$u_{n-1}=n^2-5n+5$.

En procédant de la même façon, nous obtenons

$u_{n+1}=(n+1)^2-3(n+1)+1=n^2-n-1$,

$u_{n+2}=(n+2)^2-3(n+2)+1=n^2+n-1$.

Pour $u_n+1$, nous obtenons

$u_n+1=n^2-3n+1+1=n^2-3n+2$.

Puis, pour $u_{2n}$, nous procédons comme pour les trois premiers nombres :

$u_{2n}=(2n)^2-3(2n)+1=4n^2-6n+1$.

 

2. Nous procédons comme au 1. Ainsi pour les trois premiers nombres, nous obtenons

$u_{n-1}=\dfrac{(n-1)+1}{2(n-1)+3}=\dfrac{n}{2n+1}$,

$u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{2(n+1)+3}=\dfrac{n+2}{2n+5}$,

$u_{n+2}=\dfrac{(n+2)+1}{2(n+2)+3}=\dfrac{n+3}{2n+7}$,

Pour $u_n+1$, nous obtenons, après mise au même dénominateur puis simplification

$u_n+1=\dfrac{n+1}{2n+3}+1=\dfrac{n+1}{2n+3}+\dfrac{2n+3}{2n+3}=\dfrac{3n+4}{2n+3}$.

Puis, pour $u_{2n}$, nous obtenons

$u_{2n}=\dfrac{2n+1}{2(2n)+3}=\dfrac{2n+1}{4n+3}$.

 

Énoncé (Exercice 36 p. 121)


La suite $u$ est définie par $u_0=2$ et par la relation de récurrence donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

1. $u_{n+1}=3u_n-2 \quad$ 2. $u_{n+1}=1-(u_n)^2 \quad$ 3. $u_{n+1}=\dfrac{3+u_n}{1-u_n} \quad$ 4. $u_{n+1}=\dfrac{2}{u_n}+1$


 

Corrigé

1. Par définition $u_0=2$.

Pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$, la relation de récurrence donne respectivement

$u_{0+1}=u_1=3\times u_0 -2=3\times 2-2=4$,

$u_{1+1}=u_2=3\times u_1-2=3\times 4-2=10$,

$u_{2+1}=u_3=3\times u_2-2=3\times 10-2=28$.

2. De même, nous avons

$u_{0+1}=u_1=1-(u_0)^2=1-2^2=1-4=-3$,

$u_{1+1}=u_2=1-(u_1)^2=1-(-3)^2=1-9=-8$,

$u_{2+1}=u_3=1-(u_2)^2=1-(-8)^2=1-64=–63$.

3. De même, nous avons

$u_1=\dfrac{3+u_0}{1-u_0}=\dfrac{3+2}{1-2}=\dfrac{5}{-1}=-5$,

$u_2=\dfrac{3+u_1}{1-u_1}=\dfrac{3-5}{1+6}=\dfrac{-2}{7}=-\dfrac{2}{7}$,

$u_3=\dfrac{3+u_2}{1-u_2}=\dfrac{3-\dfrac{2}{7}}{1+\dfrac{2}{7}}=\dfrac{\dfrac{21-2}{7}}{\dfrac{7+2}{7}}=\dfrac{\dfrac{19}{7}}{\dfrac{9}{7}}=\dfrac{19}{7}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{19}{9}$.

4. De même, nous avons

$u_1=\dfrac{2}{u_0}+1=\dfrac{2}{2}+1=1+1=2$,

$u_2=\dfrac{2}{u_1}+1=\dfrac{2}{2}+1=1+1=2$,

$u_3=\dfrac{2}{u_2}+1=\dfrac{2}{2}+1=1+1=2$.

 

Énoncé (Exercice 41 p. 121)


Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=1$, $u_1=1$ et la relation $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.

Calculer $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$, $u_6$, $u_7$ et $u_8$.


 

Corrigé

Par définition $u_0=1$ et $u_1=1$.

Pour $n=0$,  la relation de récurrence donne

$u_{0+2}=u_{0+1}+u_0$  soit

$u_2=u_1+u_0=1+1=2$.

En procédant de la même manière, la relation de récurrence donne respectivement pour $n=1$, $n=2$, $n=3$, $n=4$, $n=5$ et $n=6$ :

$u_3=u_2+u_1=2+1=3$,

$u_4=u_3+u_2=3+2=5$,

$u_5=u_4+u_3=5+3=8$,

$u_6=u_5+u_4=8+5=13$,

$u_7=u_6+u_5=13+8=21$,

$u_8=u_7+u_6=21+13=34$.

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