Suites numériques – Cours

 

Avant de définir ce qu’est une suite numérique en mathématique, nous allons revenir au sens courant des mots suite et numérique. On a en effet très souvent tendance à oublier, quand on fait des maths, que les mots qu’on y utilise signifient quelque chose ! Ils ont souvent un sens commun avant d’être utilisés en mathématiques ! Y revenir permettrait d’éclaircir bien des notions !

 

Que dit le dictionnaire ?

Faisons alors un petit tour sur le Wiktionnaire et commençons par le mot suite. Nous pouvons retenir plusieurs sens au mot suite. En voici quelques-uns :

1. ce qui suit, ce qui vient après,
2. ensemble de choses qui se suivent,
3. chose qui sont la continuation, le développement de chose du même ordre,
4. continuation,
5. liaison logique entre des choses,
6. ce qui résulte de quelque chose,
7. série de choses de même espèce que l’on range selon un certain ordre,
8. série, enchaînement, succession.

Il ressort de cette liste des différents sens du mot suite l’idée de « choses » de même espèce qui se suivent, se succèdent dans un certain ordre.

Le mot numérique, lui, se rattache au mot nombre.

 

Une première définition…

Donc ici, les « choses » de même espèce qui se suivent dans un certain ordre sont des nombres. D’où la première définition intuitive d’une suite :

Une suite numérique est une succession, une liste ordonnée de nombres.

 

On peut donner immédiatement quelques exemples :

• Exemple 1 : $\quad$ $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, …
  est la suite des nombres entiers naturels pairs croissants ;
• Exemple 2 : $\quad$ $2$, $9$, $16$, $23$, $30$, $37$, …
  est la suite des nombres obtenus en ajoutant toujours $7$ au nombre précédent, en commençant par 2 ;
• Exemple 3 : $\quad$ $10$, $5$, $0$, $-5$, $-10$, $-15$, …
  est la suite des nombres obtenus en retranchant toujours $5$ (ou en ajoutant $-5$) au nombre précédent, en commençant par 10 ;
• Exemple 4 : $\quad$ $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, $\dfrac{1}{16}$, $\dfrac{1}{32}$ …
  est la suite des nombres obtenus en divisant toujours par $2$ (ou multipliant toujours par $\dfrac{1}{2}$) le nombre précédent, en commençant par $1$ ;
• Exemple 5 :$\quad$ $2$, $-10$, $+50$, $-250$, $+1250$, $-6250$…
  est la suite des nombres obtenus en multipliant toujours par $-5$ le nombre précédent, en commençant par $2$ ;
• Exemple 6 :$\quad$ $1$, $4$, $1$, $5$, $9$, $2$, $6$, $5$, $4$, …
  est la suite des décimales du nombre $\pi$.
• Exemple 7 : $\quad$ $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, …
  est la suite des nombres premiers croissants.

Remarques :

$\triangleright$ Par « liste ordonnée » on entend que les nombres de la liste ont un ordre particulier (pas nécessairement croissant ni décroissant) dans le sens où il ne s’agit plus de la même suite si ces nombres sont placés dans un ordre différent.

Si l’on reprend l’exemple 1, à savoir la suite des nombres entiers naturels pairs croissants $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, …, la suite $0$, $4$, $2$, $8$, $12$, $10$, … des nombres pairs rangés dans un autre ordre constitue une autre suite.

À propos des termes…

Les nombres qui se succèdent et qui constituent une suite sont appelés les termes de la suite.

Si l’on prend l’exemple 7, les nombres $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, … sont les termes successifs de la suite des nombres premiers croissants. Le premier terme de la suite est $2$, le deuxième est $3$, le troisième $5$ …, le sixième $13$ …

… et du rang (ou indice)

Nous appelons rang ou indice $n$ d’un terme, sa position dans la liste des termes de la suite. Le rang du terme est donc un entier naturel (appartenant à $\mathbb{N}$).

Reprenons l’exemple 7.

$2$ est le premier terme de la suite, son rang est donc $1$,

$3$ est le deuxième terme de la suite, son rang est donc $2$,

…

$11$ est le cinquième terme de la suite, son rang est donc $5$

et ainsi de suite.

Ce que nous venons de dire est valable si nous comptons la position des termes en commençant par $1$.

Si nous décidons de compter la position des termes à partir de $0$,

le premier terme $2$ aura pour rang $0$,

le deuxième terme $3$ aura pour rang $1$,

…

le cinquième terme $11$ aura pour rang $4$

et ainsi de suite.

Dans l’exemple 1 de la suite  des nombres entiers naturels pairs croissants ($0$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, …), si l’on commence à compter la position des termes à partir de $0$, le terme de rang $5$ (le sixième terme) est $10$.

Remarques :

$\triangleright$ Nous verrons plus tard que selon le contexte ou la suite, nous compterons la position des termes de la suite en commençant par $0$, ou par $1$…

Avec un nom, ça sera plus pratique !

Nous sentons bien qu’utiliser le rang seul pour désigner un terme particulier de la suite n’est pas très pratique. En effet, pour parler d’un terme, il nous faudrait dire, par exemple : « le terme de rang 3». À chaque fois que l’on voudrait désigner un terme, il faudrait dire : « le terme de rang …». Il y a plus pratique. Nous allons faire en sorte de pouvoir le nommer. Pour cela, nous commençons tout d’abord par donner un nom à la suite. Nous la désignons par une lettre, par exemple $u$ (traditionnellement, les lettres $u$, $v$, $w$ sont utilisées pour nommer une suite, comme les lettres $f$, $g$, $h$ le sont pour nommer une fonction). Puis pour nommer un terme particulier de la suite $u$, nous indexons le nom de la suite par le rang du terme dans la liste (autrement dit nous mettons en indice la position du terme dans la liste). Si nous commençons à compter à partir de $0$, par exemple, les premier termes de la suite $u$ seront notés $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, …

Considérons la suite de l’exemple 1 des nombres entiers naturels pairs croissants. Nommons-la $u$. Si l’on commence à indexer les termes à partir de $0$, les termes successifs de $u$ seront notés $u_0=0$, $u_1=2$, $u_2=4$, $u_3=6$, $u_4=8$, … et ainsi de suite $u_{10}=20$ (onzième terme), $u_{27}=54$ (vingt-huitième terme)…

Bien évidemment, pour chaque position dans la liste, il y a un unique terme. Donc à chaque valeur de l’indice $n$ correspond ainsi un terme unique $u_n$ de la suite $u$. On dira qu’à chaque valeur de $n$, la suite associe un nombre unique $u_n$. Ainsi aux nombres $0$, $1$, $2$, … , $n$, … la suite $u$ associe les nombres $u_0$, $u_1$, $u_2$, … , $u_n$, …

Par exemple, la suite $u$ des nombres entiers pairs croissants associe à $0$ (si l’on commence à compter la position des termes à partir de $0$) le terme $u_0=0$, ce que l’on note $u : 0 \longmapsto u_0=0$.

Ainsi, on a

\begin{eqnarray} u :\ &0& \longmapsto u_0=0 \nonumber \\ &1& \longmapsto u_1=2 \nonumber \\ &2& \longmapsto u_2=4 \nonumber \\ &3& \longmapsto u_3=6 \nonumber \\ & & \quad \vdots \nonumber \\ &n& \longmapsto u_n \nonumber \end{eqnarray}

Remarques :

Cette façon d’associer à un nombre un autre nombre, unique, devrait vous rappeler quelque chose, non ? Allez, faites un petit effort … Une…. f… fon… fonc… fonction ! Oui, une fonction !

Souvenez-vous, une fonction $f$ associe à un nombre $x$ un unique nombre, noté $f(x)$.

Par exemple, la fonction

$f: x\mapsto f(x)=2x^2-4$

associe à $3$, le nombre $f(3)=2\times 3^2-4=14$.

Rappelons que, par définition d’une fonction, $x$ (appelé la variable de la fonction) prend des valeurs réelles ($-3$ ; $2,5$ ; $0$ ; $\dfrac{2}{3}$ ; $\sqrt{2}$, …), autrement dit que la fonction est définie sur $\mathbb{R}$ ou sur une partie (un intervalle) de $\mathbb{R}$. Rappelons de plus que $f(x)$ prend des valeurs réelles (on dit que la fonction est à valeur dans $\mathbb{R}$).

On le notait :

\begin{eqnarray}f : &\ \mathbb{R}& \longrightarrow \mathbb{R} \nonumber \\ &\ x& \longmapsto f(x) \nonumber \end{eqnarray}

En fait, une suite numérique n’est finalement qu’un type particulier de fonction définie non plus sur $\mathbb{R}$ mais sur l’ensemble des entiers naturels, $\mathbb{N}$. Elle est à valeur dans $\mathbb{R}$.

Vous avez à ce stade une idée de ce qu’est une suite : une liste de nombres, appelés termes, indexée par les entiers naturels.

On peut à présent formaliser la définition d’une suite numérique. Vous avez certainement eu une telle définition en cours et vous en trouverez une dans votre manuel. Elle synthétise, en langage mathématique ce que je viens de dire.

Remarques :

$\triangleright$ Si les nombres $u_n$ sont des réels, la suite numérique est dite réelle ;

$\triangleright$ La suite $u$ est aussi notée $(u_n)$ ou $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ou encore $(u_n)_{n\geqslant 0}$ ;

$\triangleright$ Si la suite est définie seulement sur une partie de $\mathbb{N}$, c’est-à-dire pour les entiers supérieurs à une valeur donnée $n_0$, alors elle est notée $(u_n)_{n\geqslant n_0}$.

Bon, maintenant, nous n’irons pas bien loin si nous nous contentons, pour définir une suite, de la donnée de ses premiers termes (comme les exemples donnés dans  la première partie Introduction : qu’est-ce qu’une suite numérique ?). En effet, étant donné que les termes d’une suite sont en nombre infini, nous ne pourrons jamais en écrire qu’une partie. Pas très intéressant tout ça ! Avoir une formule permettant de calculer tous les termes de la suite serait beaucoup plus pratique. Et surtout beaucoup plus efficace. Nous aimons bien en mathématiques avoir des relations (formules) que l’on peut manipuler car cela permet d’aller plus loin dans la compréhension des choses.

Nous allons montrer, à partir de la suite des nombres entiers naturels pairs croissants 0, 2, 4, 6, 8, …, comment nous pouvons obtenir deux « formules » différentes permettant de générer (déterminer) les termes successifs de la suite. Ces deux types de « formules » seront associés à deux façons différentes de définir une suite.

1) Considérons la suite des entiers naturels pairs croissants : $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, … Appelons-là $u$. Nous avons alors :

\begin{eqnarray} u_0&=&0 \nonumber \\ u_1&=&2 \nonumber \\ u_2&=&4 \nonumber \\ u_3&=&6 \nonumber \\ u_4&=&8 \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \end{eqnarray}

Nous pouvons réécrire les termes de la suite de la façon suivante :

\begin{eqnarray} u_\color{green}{0}&=&2\times \color{green}{0} \nonumber \\ u_\color{green}{1}&=&2\times \color{green}{1} \nonumber \\ u_\color{green}{2}&=&2\times \color{green}{2} \nonumber \\ u_\color{green}{3}&=&2\times \color{green}{3} \nonumber \\ u_\color{green}{4}&=&2\times \color{green}{4} \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \end{eqnarray}

Ce faisant, nous voyons apparaître un lien entre le rang $n$ du terme $u_n$ et sa valeur : $u_{\color{green}{n}}=2\color{green}{n}$. Cette relation nous permet de déterminer tous les termes de la suite $u$.

La suite $u$ des nombres entiers naturels pairs croissants peut donc être définie pour tout entier naturel $n$ par la relation

$u_n=2n$

du terme général $u_n$ en fonction de $n$, dite relation explicite ou directe. Et définir une suite de cette façon (par la donnée de la relation explicite) est ce que l’on appelle la définition explicite. Il s’agit de la première façon de définir une suite.

Ainsi, d’une manière générale, si nous avons l’expression du terme général $u_n$ d’une suite $u$ en fonction de $n$ et que nous voulons calculer le terme de rang $n_0$ de cette suite, c’est-à-dire $u_{n_0}$, il nous suffit de substituer $n_0$ à $n$ dans l’expression de $u_n$.

Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par son terme général $u_{\color{blue}{n}}={\color{blue}{n}}^3-{\color{blue}{n}}^2-5$.

Pour calculer par exemple le terme d’ordre $2$ de la suite $u$, soit $u_2$, nous substituons $\color{orange}{2}$ à ${\color{blue}{n}}$, autrement dit nous remplaçons ${\color{blue}{n}}$ par $\color{orange}{2}$ dans le terme général $u_{\color{blue}{n}}$, soit $u_{\color{orange}{2}}={\color{orange}{2}}^3-{\color{orange}{2}}^2-5=-1$

Remarques :

En fait la définition explicite d’une suite vous est familière. Vous l’utiliser très régulièrement lorsque vous calculer l’image d’un nombre par une fonction. Je rappelle que, lorsque vous avez l’expression d’une fonction $f$ et que vous voulez déterminer l’image d’un nombre $x_0$ par cette fonction, vous calculez $f(x_0)$ en substituant $x_0$ à $x$ dans l’expression de $f$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(\color{blue}{x})=\color{blue}{x}^3-\color{blue}{x}^2-5$.

Par exemple, pour connaître le nombre associé à $2$ par la fonction $f$, autrement dit l’image de $2$ par la fonction $f$, nous calculons $f(\color{orange}{2})$, soit $f(\color{orange}{2})=\color{orange}{2}^3-\color{orange}{2}^2-5=8-4-5=8-9=-1$.

2) Considérons toujours la suite $u$ des entiers naturels pairs croissants. Nous pouvons réécrire les termes de la suite de la façon suivante :

\begin{eqnarray} u_0&=&0 \nonumber \\ u_1&=&u_0+2 \nonumber \\ u_2&=&u_1+2 \nonumber \\ u_3&=&u_2+2 \nonumber \\ u_4&=&u_3+2 \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \end{eqnarray}

Ainsi, connaissant le terme de rang $0$, $u_0$, nous pouvons, en lui ajoutant 2, déterminer le terme suivant, d’ordre $1$, $u_1$. De même, connaissant le terme d’ordre $1$, $u_1$, nous pouvons, en lui ajoutant 2, déterminer me terme suivant, d’ordre $2$, $u_2$. Et ainsi de suite. Donc connaissant le terme d’ordre $n$, $u_n$, nous pouvons, en lui ajoutant 2, déterminer le terme suivant, c’est-à-dire le terme d’ordre $n+1$, $u_{n+1}$. Nous pouvons ainsi écrire la relation $u_{n+1}=u_n+2$ qui nous permet, connaissant le premier terme de la suite, d’en déterminer tous les termes. Cette relation nécessite donc la donnée du premier terme de la suite (pour pouvoir « démarrer »).

La suite $u$ des nombres entiers naturels pairs croissants peut donc être définie pour tout entier naturel $n$ par la donnée de son premier terme et de la relation

$u_{n+1}=u_n+2$

dite relation de récurrence. Définir une suite de cette façon (par la donnée de son premier terme et de la relation de récurrence) est ce que l’on appelle la définition par récurrence. Il s’agit de la deuxième façon de définir une suite. Il s’agit de quelque chose de nouveau et que vous ne rencontrerez que dans le contexte des suites. Voyons sur un autre exemple comment manipuler la relation de récurrence pour générer les termes de la suite.

Considérons la suite $u$ , définie sur $\mathbb{N}$, par son premier terme $u_0=6$ et pour tout $n\geqslant 0$, par la relation de récurrence

$u_{n+1}=2u_n+3$. $\qquad$

Cette relation (de récurrence) relie le terme d’ordre $n+1$ au terme d’ordre $n$.

Voyons comment cette relation permet, connaissant le premier terme $u_0$, de calculer tous les termes suivant. La relation de récurrence $u_{\color{blue}{n}+1}=2u_{\color{blue}{n}}+3$ étant définie pour tout $n\geqslant 0$, choisissons pour $\color{blue}{n}$ la valeur $\color{orange}{0}$. Pour $n=\color{orange}{0}$, le membre de gauche s’écrit $u_{\color{orange}{0}+1}$ soit $u_1$ et le membre de droite $2u_{\color{orange}{0}}+3$. Ainsi, à  l’ordre  $0$,  la relation de récurrence s’écrit

$u_1=2u_0+3$.

Ainsi, si nous connaissons le premier terme, ici $u_0$, nous pouvons calculer le terme suivant, c’est-à-dire $u_1$.

Ainsi, puisque par définition $u_0=6$, nous obtenons

$u_1=2\times 6+3=15$.

De même, en choisissant pour $\color{blue}{n}$ dans la relation de récurrence $u_{\color{blue}{n}+1}=2u_{\color{blue}{n}}+3$, la valeur $\color{orange}{1}$, nous pouvons calculer le terme de rang 2, $u_2$ : en effet, pour $n=\color{orange}{1}$, le membre de gauche s’écrit $u_{\color{orange}{1}+1}$ soit $u_2$ et le membre de droite $2u_{\color{orange}{1}}+3$. Nous avons alors

$u_2=2u_1+3$.

Ayant précédemment calculé et obtenu $u_1=15$, nous obtenons

$u_2=2\times 15+3=33$.

Pour déterminer le terme d’ordre $3$, nous choisissons pour $n$ dans la relation de récurrence la valeur $\color{orange}{2}$ : le membre de gauche s’écrit alors $u_{\color{orange}{2}+1}$ soit $u_3$ et le membre de droite $2u_{\color{orange}{2}}+3$. Ainsi

$u_3=2u_2+3=2\times 33+3=69$.

Et ainsi de suite.

On peut alors formaliser ce que l’on vient de voir, c’est-à-dire les deux méthodes de définition d’une suite (permettant de générer tous les termes de la suite).

  Exemples de calcul de termes d’une suite

1) Suites définies par une relation explicite

2) Suites définies par une relation de récurrence

Remarque :

$\triangleright$ Comme vous avez pu le remarqué dans les exemples précédents, l’utilisation de la relation de récurrence pour la détermination d’un terme quelconque de la suite nécessite la détermination de tous les termes précédents. Cela peut être fastidieux surtout pour le calcul de termes d’ordre élevé.

$\triangleright$ La relation explicite, quant à elle, permet de déterminer directement l’un quelconque des termes de la suite.

À ce stade vous devez savoir déterminer les termes successifs d’une suite définie de manière explicite ou par récurrence. Si ce n’est pas le cas, ne poursuivez pas la lecture du cours mais revenez à la partie précédente, relisez le cours et refaite tous les exemples d’application. C’est important !

Bien, maintenant, revenons aux exemples de suites vus dans la section précédente et observons pour chacune les premiers termes que nous avons calculé. Nous pouvons constater que selon la suite, ces termes croissent, décroissent ou ni l’un ni l’autre.

Nous dirons qu’une suite est croissante lorsque chaque terme est plus grand que son prédécesseur, ceci devant être vérifié pour l’ensemble des termes de la suite. De même, nous dirons qu’une suite est décroissante lorsque chaque terme est plus petit que son prédécesseur, ceci devant, de même, être vérifié pour l’ensemble des termes de la suite. Ne pouvant calculer que les quelques premiers termes d’une suite (il est bien évidemment impossible d’en calculer la totalité puisqu’il y en a une infinité !), nous ne pouvons donc conclure quant à la monotonie d’une suite en procédant ainsi. Même si il est tentant, lorsque les premiers termes de la suite croissent, d’affirmer qu’ils continuent indéfiniment de croître et donc de conclure que la suite est croissante, nous ne pouvons conclure à partir de quelques termes seulement. De même lorsque les premiers termes décroissent, nous ne pouvons pas conclure que la suite est décroissante.

Nous voulons ici pouvoir savoir si une suite est croissante, décroissante ou ni croissante ni décroissante, autrement dit nous voulons pouvoir déterminer le sens de variation d’une suite. Mais avant de voir comment déterminer le sens de variation d’une suite, définissons formellement une suite croissante et une suite décroissante :

Nous allons maintenant étudier trois méthodes de détermination du sens de variation d’une suite.

1) Première méthode

Cette méthode exploite la définition précédente qui nous dit, rappelons-le, que

⊗ $u$ est croissante si et seulement si, pour tout $n$,

$u_{n+1}\geqslant u_n \Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n\geqslant 0$,

⊗ $u$ est décroissante si et seulement si, pour tout $n$,

$u_{n+1}\leqslant u_n \Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.

Ainsi, pour une suite $u$, si nous réussissons à démontrer que pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ (resp. $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$) alors nous pourrons dire que la suite est croissante (resp. décroissante). La première méthode consiste donc à déterminer $u_{n+1}-u_n$ et à étudier son signe.

Considérons la suite $u$ définie pour tout $n$ par $u_n=3n$ (définition explicite).

Exprimons $u_{n+1}-u_n$ et déterminons-en le signe.

Nous avons

$u_{n+1}-u_n=3(n+1)-3n=3n+3-3n=3$.

Or $3>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$ et la suite $u$ est donc croissante.

2) Deuxième méthode

Celle-ci peut être utilisée lorsque la suite est définie de manière explicite, c’est-à-dire lorsqu’elle est définie par la donnée de $u_n$ en fonction de $n$. Et dans ce cas, il est toujours possible d’introduire la fonction $f$  définie sur $[0; +\infty[$ telle que $u_n=f(n)$.  Il s’avère que $f$ et $u$ ont le même sens de variation. Donc pour étudier le sens de variation de la suite $u$, il nous suffit d’étudier celui de $f$ : si $f$ est croissante alors $u$ est croissante et si $f$ est décroissante alors $u$ est décroissante.

Considérons la suite $u$ définie pour tout $n$ par $u_n=-2n+6$.

Nous pouvons considérez la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(x)=-2x+6$. Nous avons bien $u_n=f(n)$.

Étudions le sens de variation de la fonction $f$.

Il s’agit d’une fonction affine avec $a=-2<0$ donc $f$ est décroissante.

Nous pouvons alors en déduire que $u$ est décroissante.

3) Troisième méthode

Celle-ci n’est valable que pour une suite positive, c’est-à-dire une suite dont tous les termes sont positifs. Elle consiste à comparer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

Considérons la suite $u$ définie pour tout $n$ par $u_n=n^2+1$.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, nous avons bien $n^2+1>0$. Déterminons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ puis comparons-le à $1$.
Nous avons pour tout $n$

\begin{eqnarray} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}=\dfrac{n^2+2n+1+1}{n^2+1}&=&\dfrac{n^2+1}{n^2+1}+\dfrac{2n+1}{n^2+1} \nonumber \\ &=& 1+\dfrac{2n+1}{n^2+1}. \nonumber\end{eqnarray}

Or pour tout $n$, $2n+1>0$ ainsi que $n^2+1>0$, d’où $\dfrac{2n+1}{n^2+1}>0$. Ce qui implique que pour tout $n$, $1+\dfrac{2n+1}{n^2+1}>1$.

Ainsi pour tout $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$ soit $u_{n+1}>u_n$ et donc la suite $u$ est croissante (par définition).

Exemples d’étude du sens de variation d’une suite

Voici quelques exemples corrigés illustrant l’utilisation de chacune des trois méthodes. Dans les premiers exemples, lorsque plusieurs méthodes sont utilisables pour étudier les variations d’une même suite, elles seront successivement traitées.

En préparation !

Bien, à ce stade, vous devez être capable

1. de donner la définition d’une suite ;
2. de calculer les termes d’une suite définie de manière explicite ou par récurrence ;
3. d’étudier le sens de variation d’une suite par les trois méthodes.

Si l’une ou l’autre vous pose encore des soucis, retournez-y !

Nous allons à présent introduire et étudier deux types particuliers de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Car, tout comme parmi les fonctions, il existe des fonctions particulières (fonctions affines, fonction polynôme de second degré …), il existe parmi les suites, des suites particulières.

Commençons par les suites arithmétiques. Voyons dans un premier temps ce qu’est une suite arithmétique et comment démontrer qu’une suite donnée est arithmétique. Dans un deuxième temps, nous étudierons les propriétés d’une telle suite. Nous ferons de même pour les suites géométriques.

Suite arithmétique

Définition

Reprenons les trois premières suites données en exemple dans la première partie Introduction : qu’est-ce qu’une suite ? :

• Exemple 1 : 0, 2, 4, 6, 8, 10, … (suite des nombres entiers pairs croissants) ;
• Exemple 2 : 2, 9, 16, 23, 30, 37, … (suite des nombres obtenus en ajoutant toujours 7 au nombre précédent, et en commençant par le nombre 2) ;
• Exemple 3 : 10, 5, 0, -5, -10, -15, … (suite des nombres obtenus en ajoutant toujours -5 au nombre précédent, et en commençant par le nombre 10).

Prenons la suite de l’Exemple 1 et observons attentivement la façon dont les termes se succèdent. Plus précisement, observons le lien entre deux termes successifs : $0$ et $2$, $2$ et $4$, $4$ et $6$ … Nous pouvons constater que tous les termes de la suite sont obtenus en ajoutant à chaque fois le même nombre, $2$ au terme précédent. Nous avions d’ailleurs montré dans la partie Définition d’une suite que cette suite peut être définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+2$ (avec la donnée de son premier terme). C’est la définition même d’une suite arithmétique.

Par définition, une suite arithmétique est une suite dont tous les termes sont obtenus en ajoutant au terme précédent une constante que l’on appelle la raison de la suite et que l’on note $r$. Ainsi, si nous connaissons le premier terme $u_{n_0}$, d’indice $n_0$, et la raison $r$ de la suite arithmétique, nous pouvons déterminer tous ses termes à l’aide de la relation de récurrence

$u_{n+1}=u_n+r \qquad$ pour $n\geqslant n_0$.

Remarque :

$\triangleright$ La relation de récurrence précédente signifie qu’en ajoutant $r$ au terme d’ordre $n$, on obtient le terme d’ordre $n+1$, donc le terme suivant, et ceci pour tout $n\geqslant n_0$. Donc que tous les termes d’une suites arithmétique sont obtenus en ajoutant au terme précédent la même constante, à savoir la raison $r$.

$\triangleright$ Ce que nous venons de dite concernant la suite de l’Exemple 1 est valable pour la suite de l’Exemple 2 où tous les termes sont obtenus en ajoutant à chaque fois $7$ au terme précédent (c’est d’ailleurs comme cela qu’elle est définie) et pour l’Exemple 3, où c’est en ajoutant à chaque fois $-5$ au terme précédent. Les trois suites précédentes sont donc toutes les trois arithmétiques.

Une suite arithmétique est donc définie dès l’instant où l’on connaît son premier terme et sa raison.

Soit la suite arithmétique $u$, de raison $r=3$ et de premier terme $u_0=-2$. Calculons les quatre premiers termes :

Par définition le premier terme est $u_0=-2$.

Le deuxième terme est obtenu en ajoutant au premier terme la raison, soit $u_1=u_0+r=-2+3=1$.

De même, le troisième terme est $u_2=u_1+r=1+3=4$.

Puis le quatrième est $u_3=u_2+r=4+3=7$ et ainsi de suite.

Nous pouvons alors formaliser la définition d’une suite arithmétique :

Reconnaître une suite arithmétique

La façon de procéder dépendra de ce dont vous disposer comme information sur la suite. Nous allons voir plusieurs cas.

[ie:icon icon= »typcn typcn-tick-outline » size= »20px » color= »#000000″] Considérons la suite $u$ des nombres premiers croissants : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, … Est-elle arithmétique ?

D’après la définition, vous savez que $u$ est arithmétique si la différence entre deux termes successifs quelconques est la même. Nous avons par exemple

$u_1-u_0=3-2=1$ et $u_2-u_1=5-3=2$.

Les différences $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ ne sont pas les mêmes. Cela suffit pour conclure que la suite $u$ n’est pas arithmétique. Ce n’est pas la peine d’aller plus loin !

[ie:icon icon= »typcn typcn-tick-outline » size= »20px » color= »#000000″] Considérons la suite $v$ : $1$, $4$, $7$, $11$, $16$, $19$, … Est-elle arithmétique ?

Comme dans l’exemple précédent, nous avons

$v_1-v_0=4-1=3$ et $v_2-v_1=7-4=3$.

Pour l’instant nous ne pouvons rien dire. Déterminons la différence suivante :

$v_3-v_2=11-7=4$.

Ah ! Nous avons  $v_3-v_2 \neq v_2-v_1$. Nous pouvons conclure que la suite $v$ n’est pas arithmétique.

[ie:icon icon= »typcn typcn-tick-outline » size= »20px » color= »#000000″] Considérons la suite $v$ : $6$, $13$, $20$, $27$, $34$, $41$, … Est-elle arithmétique ?

Nous avons $u_1-u_0=13-6=7$ et $u_2-u_1=20-13=7$. Comme dans l’exemple précédent, nous ne pouvons rien dire.  Nous avons de plus

$u_3-u_2=27-20=7$, $u_4-u_3=34-27=7$, $u_5-u_4=41-34=7$.

Toutes les différences sont les mêmes. Nous ne pouvons néanmoins pas conclure, car nous ne connaissons pas les termes suivants. Il faudrait connaître la totalité des termes de la suite et démontrer l’égalité de toutes les différences entre deux termes successifs de la suite. Ce qui est impossible puisqu’ils sont en nombre infini. Nous pouvons seulement conjecturer que la suite est arithmétique !

[ie:icon icon= »typcn typcn-tick-outline » size= »20px » color= »#000000″]  Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=\dfrac{1}{5}n-4$. Est-elle arithmétique ?

Calculons les premiers termes :

$u_0=-4$, $u_1=-\dfrac{19}{5}$, $u_2=-\dfrac{18}{5}$, $u_3=-\dfrac{17}{5}$, …

Nous voyons que $u_1-u_0=u_2-u_1=u_3-u_2=\dfrac{1}{5}$. Comme dans l’exemple précédent, nous ne pouvons conclure avec les seuls premier termes de la suite, quant à sa nature.  Par contre, à la différence de l’exemple précédent, nous connaissons l’expression du terme général de la suite $u_n$ en fonction de $n$ (relation explicite de la suite) : $u_n=\dfrac{1}{5}n-4$.
Nous allons pouvoir calculer la différence $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n$. Voyons ce que cela donne :

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{5}(n+1)-4-\dfrac{1}{5}n+4=\dfrac{1}{5}n+\dfrac{1}{5}-4-\dfrac{1}{5}n+4=\dfrac{1}{5}$.

Ainsi, la différence $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{5}$ pour tout entier naturel $n$. Autrement dit la différence entre deux termes successifs quelconques de la suite est constante. Nous venons de démontrer que la suite est arithmétique.

[ie:icon icon= »typcn typcn-tick-outline » size= »20px » color= »#000000″]  Soit la suite $u$ définie de manière explicite sur $\mathbb{N}$ par $u_n=n^2+1$. Est-elle arithmétique ? Calculons les premiers termes :

$u_0=1$, $u_1=2$, $u_2=5$. Que pouvons-nous constater ? Et bien que les différences $u_1-u_0=1$ et $u_2-u_1=3$ ne sont pas égales. Et donc que la suite n’est pas arithmétique. Étant donné que nous disposons de la relation explicite définissant la suite $v$, nous aurions pu aussi démontrer que la différence $u_{n+1}-u_n$ n’est pas constante et dépend de $n$. Allons-y, déterminons l’expression de $u_{n+1}-u_n$ :

$u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+1-n^2-1=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1$.

Ainsi la différence $u_{n+1}-u_n$ dépend de $n$. La suite $u$ est donc arithmétique.

Nous avons vu que si nous ne disposons pas de la relation (de récurrence ou explicite) définissant la suite, nous ne pouvons pas démontrer qu’elle est arithmétique mais par contre nous pouvons éventuellement démontrer qu’elle ne l’est pas. D’où

Propriétés des suites arithmétiques

Définition explicite

La suite arithmétique a été défini plus haut par récurrence. Nous allons déterminer la relation explicite définissant une suite arithmétique.

Pour cela, considérons la suite arithmétique $u$ de raison $r$ et de premier terme $u_0$.  Par définition d’une suite arithmétique, nous avons $u_1=u_0+r$ que nous pouvons écrire

$u_{\color{blue}{1}}=u_0+\color{blue}{1}\times r$.

De même, $u_2=u_1+r$, soit, puisque $u_1=u_0+r$,  $u_2=u_0+r+r$. D’où

$u_{\color{blue}{2}}=u_0+\color{blue}{2}\times r$.

Puis, $u_3=u_2+r=u_0+2r+r$, soit

$u_{\color{blue}{3}}=u_0+\color{blue}{3}\times r$.

Nous pouvons montrer que pour tout entier naturel $n$, nous avons

$u_n=u_0+n\times r$.   (

Démonstration

)

Cette relation explicite nous permet de déterminer le terme d’ordre $n$ quelconque d’une suite arithmétique définie par sa raison $r$ et son premier terme $u_0$.

Reprenons la suite arithmétique $u$, de raison $r=3$ et de premier terme $u_0=-2$. Nous pouvons déterminer le quatrième terme (terme de rang $3$) sans avoir à déterminer $u_1$ ni $u_2$ :

$u_3=u_0+3\times r=-2+3\times 3=7$.

De même $u_{100}=u_0+100\times r=-2+3\times 100=298$.

Si le premier terme de la suite arithmétique n’est pas $u_0$ mais $u_1$, on peut démontrer, en procédant de la même manière que pour tout $n\geqslant 1$

$u_n=u_1+(n-1)\times  r$.

Considérons la suite $v$ de raison $r=5$ et de premier terme $u_1=4$. Calculons $u_7$.

D’après la relation précédente, nous avons $u_7=u_1+(7-1)\times r=4+6\times 5=34$.

Nous pouvons en fait généraliser l’expression précédente pour une suite arithmétique $u$ de raison $\color{red}{r}$ et pour tous entiers naturels $\color{blue}{n}$ et $\color{green}{p}$

$u_{\color{blue}{n}}=u_{\color{green}{p}}+(\color{blue}{n}-\color{green}{p})\times \color{red}{r}$.

Soit la suite arithmétique $u$, de raison $r=5$ et telle que $u_{10}=4$. Calculons $u_{22}$.

Nous avons $u_{22}=u_{10}+(22-10)\times r=4+(22-10)\times 5=64$.

Nous pouvons alors formaliser la propriété précédente.

Exemples sur les suites aritmétiques

En préparation !

Exemple de raisonnement par récurrence

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Montrons que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $\quad 1^3+2^3+ … +n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.$

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Considérons la proposition $\text{P}(n) :$ « $1^3+2^3+ … +n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ ».

Démontrons par récurrence que $\text{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$

1. Initialisation

Le premier ordre est $n_0=1$. Vérifions donc que $\text{P}(1)$ est vraie.

Pour $n=1$, le membre de gauche de l’égalité n’a qu’un seul terme, $1^3$ et  $1^3=1$ et le membre de droite vaut $\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}=\dfrac{1\times 2^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$.

Ainsi pour $n=1$ on a bien l’égalité des deux membres :  $1^3=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}$ .

$\text{P}(1)$ est donc vraie.

2. Hérédité

$\blacktriangleright$ Supposons qu’il existe un entier naturel $k\geqslant 1$ tel que $\text{P}(k)$ soit est vraie.

Démontrons alors que $\text{P}(k+1)$ est vraie, c’est-à-dire que $\begin{eqnarray}1^3+2^3+ … +k^3+(k+1)^3=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}.\nonumber\end{eqnarray}$

$\blacktriangleright$ Par hypothèse de récurrence, nous avons $\quad 1^3+2^3+ … +k^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Ajoutons $(k+1)^3$ à chacun des membres de l’égalité précédente, nous obtenons alors $1^3+2^3+ … +k^3+(k+1)^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$.

Soit, en mettant au même dénominateur les termes du second membre

$\begin{eqnarray}1^3+2^3+ … +k^3+(k+1)^3 &=& \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 \nonumber \\ &=& \dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+\dfrac{4(k+1)^3}{4}\nonumber \\ &=& \dfrac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}\nonumber \end{eqnarray}$

En remarquant, dans le second membre de l’égalité, que le facteur $\color{green}{(k+1)^2}$ est commun aux deux termes du numérateur :

$\begin{eqnarray}1^3+2^3+ … +k^3+(k+1)^3 &=& \dfrac{\color{orange}{k^2}\color{green}{(k+1)^2}\color{violet}{+}\color{orange}{4}\color{green}{(k+1)^2}\color{orange}{(k+1)}}{4}\nonumber\end{eqnarray}$

nous pouvons factoriser par $\color{green}{(k+1)^2}$ et obtenir

$\begin{eqnarray}1^3+2^3+ … +k^3+(k+1)^3 &=& \dfrac{\color{green}{(k+1)^2}\color{black}{(}\color{orange}{k^2\color{violet}{+}\color{orange}{4(k+1)}\color{black}{)}}}{4}\nonumber \\ &=&\dfrac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}\nonumber \end{eqnarray}$

Arrivé ici, pour pouvoir continuer, il faut connaître ses identités remarquables.

En effet il faut remarquer que, dans le membre de droite, le facteur $(k^2+4k+4)$ peut se mettre sous forme factorisée $(k+2)^2$.

On obtient alors finalement :

$\begin{eqnarray}1^3+2^3+ … +k^3+(k+1)^3 &=& \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\nonumber.\end{eqnarray}$

Nous avons ainsi démontré que $\text{P}(k+1)$ est vraie.

Ainsi, en supposant $\text{P}(k)$ vraie, nous avons démontré que $\text{P}(k+1)$ est vraie.

$\text{P}(k)$ est donc héréditaire.

3. Conclusion

$\text{P}(1)$ est vraie et $\text{P}(n)$ est héréditaire donc, d’après le principe de récurrence, $\text{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, c’est-à-dire que $1^3+2^3+ … +n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$.

En préparation !

1. Limite finie

2. Limite infinie

3. Limites des suites de référence

En préparation !

1. Opérations et limites

Lorsque deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont des limites connues, on peut en général déterminer la limite des suites $(u_n+v_n)$, $(u_n v_n)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$, respectivement somme, produit et quotient des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Les tableaux suivants présentent les règles opératoires pour la détermination de la limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux suites. Dans la plupart des cas, de telles limites sont intuitives.

Il arrive parfois que l’on ne puisse pas déterminer la limite. Ces cas sont appelés des formes indéterminées.

Dans les trois tableaux qui suivent, $l$ et $l’$ sont des réels. Un point d’interrogation signifie que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

2. Limites et comparaison

3. Théorème des gendarmes

En préparation !