BCPST2 – Thermodynamique – Calcul du travail lors d’une transformation adiabatique

Le système étudié $\mathcal{S}$ est la masse $m$ d’air, assimilé à un gaz parfait diatomique. Ce dernier est délimité par la paroi $\Sigma$ qui le sépare donc du milieu extérieur.

Le figure suivante schématise la transformation subie par le système $\mathcal{S}$ passant de l’état initial $(1)$ à l’état final $(2)$ :

Caractérisons les états d’équilibre initial et final.

État initial

L’état d’équilibre initial est caractérisé par les variables $T_1$ et $n_1$ telles que

• $T_1=293~\mbox{K}$
• $\displaystyle n_1=\frac{m}{M_{\mathrm{air}}}\qquad$ avec $m$ la masse d’air et $M_{\mathrm{air}}$ la masse molaire de l’air.

En considérant l’air simplement constitué de $80~\%$ de diazote $\mathrm{N}_2$ et $20~\%$ de dioxygène $\mathrm{O}_2$, nous avons

$$\begin{eqnarray} M_{\mathrm{air}}&=&0{,}8M(\mathrm{N}_ 2)+0{,}2M(\mathrm{O}_2) \nonumber \\ &=& 0{,}8\times 2\times M_\mathrm{N}+0{,}2\times 2 \times M_\mathrm{O}\nonumber \\ &=& 1{,}6 \times 14{,}0+0{,4}\times 16{,}0\nonumber \\ &=&28{,}8 \nonumber \end{eqnarray}$$

Soit $M_{\mathrm{air}}=28{,}8~\mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}$.

D’où $\displaystyle n_1=\frac{m}{M_{\mathrm{air}}}=\frac{1000}{28{,}8}=34{,}7\quad $ soit $\quad n_1=34{,}7~\mathrm{mol}$.

État final

L’état d’équilibre final est caractérisé par les variables $T_2$ et $n_2$ telles que

• $T_2=333~\mbox{K}$
• $\displaystyle n_2=n_1=34{,}7~\mathrm{mol}$ puisque le système est fermé (et n’échange donc pas de matière avec le milieu extérieur).

Expression du travail

Le travail nécessaire à  la compression est en fait le travail reçu par le système au cours de cette transformation. Le premier réflexe est de partir de l’expression du travail reçu par le système au cours d’une transformation infinitésimale

$$\delta W=-P_\mathrm{ext}dV$$

puis d’exprimer le travail reçue par le système au cours de la transformation finie $1 \rightarrow$ 2 par intégration de l’expression précédente :

$$W=\int_{1}^{2}\delta W=-\int_{V_1}^{V_2}P_\mathrm{ext}dV$$

Or, ne connaissant pas l’expression de $P_\mathrm{ext}$ en fonction de $V$, cette voie ne peut aboutir.

De ce fait, nous utiliserons le premier principe de la thermodynamique qui, rappelons-le, nous dit que pour un système fermé macroscopiquement au repos, la variation d’énergie interne $U$ du système s’écrit

$$\Delta U= W+Q$$

où $W$ et $Q$ sont respectivement le travail et le transfert thermique algébriquement reçu par le système.

Puisque la transformation étudiée est adiabatique (aucun transfert thermique n’est possible à travers la frontière $\Sigma$ entre le système et le milieu extérieur), nous avons

$Q=0$

Ainsi, le premier principe nous permet d’exprimer le travail reçu par le système sous la forme

$$W=\Delta U$$

L’air étant assimilé à un gaz parfait, sa variation d’énergie interne pour une transformation élémentaire s’écrit

$\mathrm{d}U=C_v\mathrm{d}T$

avec $C_v$ la capacité thermique à volume constant.

Puisque $C_v=\mathrm{cste}$, on obtient, par intégration, la variation d’énergie interne du système au cours de la transformation finie $1 \rightarrow$ 2 :

$$\Delta U=\int_1^2 \mathrm{d}U=\int_{T_1}^{T_2}C_v\mathrm{d}T=C_v\int_{T_1}^{T_2}\mathrm{d}T$$

soit

$$\Delta U=C_v(T_2-T_1)$$

et donc

$$W=\Delta U=C_v(T_2-T_1)$$

Il nous reste plus qu’à exprimer $C_v$ à l’aide des données.

Or, nous avons par définition, $\displaystyle C_{v_m}=\frac{C_v}{n}$, soit $C_v=nC_{v_m}$. D’où

$$W=nC_{v_m}(T_2-T_1)$$

avec $\displaystyle n=n_1=n_2=\frac{m}{M_\mathrm{air}}$ le nombre de mole du système (déterminé plus haut).

D’où finalement, puisque $\displaystyle C_{v_m}=\frac{5}{2}R$, nous obtenons l’expression du travail nécessaire à la compression :

$$\boxed{W=\frac{5}{2}\frac{m}{M_\mathrm{air}}R(T_2-T_1)}$$

A.N. : $\displaystyle W=\frac{5}{2}\frac{m}{M_\mathrm{air}}R(T_2-T_1)=\frac{5\times 1000\times 8{,}314}{2\times 28{,}8}(333-293)=28868$.

Soit $W=28{,9}~\mathrm{kJ}$.