Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 147 p. 101 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé de l’exercice 147 p. 101
Vers une valeur approchée de $\pi$
L’objectif de cet exercice est de démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\mathrm{I}=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[$, on a :
$\dfrac{3\sin x}{2+\cos x}\leqslant x \leqslant \dfrac{2\sin x +\tan x}{3}\quad$, avec $\quad \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
puis d’utiliser cet encadrement pour donner une valeur approchée de $\pi$.
1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{I}$ par :
$f(x)=\dfrac{3\sin x}{2+\cos x}-x$.
a. Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\mathrm{I}$, $f'(x)$ est du signe de $-\cos^2x+2\cos x -1$.
b. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathrm{I}$, puis son signe.
2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathrm{I}$ par :
$g(x)=\dfrac{2\sin x+\tan x}{3}-x$.
a. Démontrer que $g'(x)=\dfrac{(\cos x-1)^2(2\cos x+1)}{3\cos^2x}$.
b. En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathrm{I}$, puis son signe.
3. Conclure.
4. En utilisant les valeurs exactes des lignes trigonométriques de $\dfrac{\pi}{6}$ et l’encadrement précédent, déterminer une valeur approchée de $\dfrac{\pi}{6}$, puis de $\pi$.
Correction de l’exercice 147 p. 101
