Exercice 51 p. 24 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n$ un entier naturel non nul ($n\in \mathbb{N}^*$) et notons la proposition

${\rm P}(n)$ : « $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n$ un entier naturel, $n\geqslant 1$.

Généralement, c’est l’énoncé qui vous indique à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer », autrement dit la valeur de $n$ pour laquelle vous devez vérifier l’initialisation. Ici, il est vrai que l’ensemble de valeurs de $n$ sur lesquel la démontration par récurrence doit être réalisée n’est pas spécifié explicitement. Dans ce cas revenez à la propriété à démontrer : $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3$ est la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels non nuls. Ainsi, la propriétés est à démontrer pour tout $n\geqslant 1$. L’initialisation se fera donc pour $n=1$.

Initialisation ($n=1$)

Démontrons que ${\rm P}(1)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{\displaystyle  \sum_{k=1}^1 k^3}=\color{green}{\dfrac{1^2\times(1+1)^2}{4}}$.

Lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $\displaystyle  \sum_{k=1}^1 k^3$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $\dfrac{1^2\times(1+1)^2}{4}$. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.

Nous avons

$\color{blue}{\displaystyle  \sum_{k=1}^1 k^3}=1^3=1$,

et

$ \color{green}{\dfrac{1^2\times(1+1)^2}{4}}=\dfrac{1\times 2^2}{4}=\dfrac{4}{4}=1$.

Donc

$\displaystyle  \sum_{k=1}^1 k^3=\dfrac{1^2\times(1+1)^2}{4}$.

${\rm P}(1)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $r$ quelconque, $r\geqslant 1$,

Il est indispensable de ne pas prendre ici la lettre $k$ pour désigner l’entier naturel quelconque car $k$ est déjà utilisé dans l’expression à démontrer. D’où l’utilisation de $r$.

${\rm P}(r)$ : « $\displaystyle \sum_{k=1}^r k^3=\dfrac{r^2(r+1)^2}{4}$ » soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons alors que

${\rm P}(r+1)$ : « $\displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3=\dfrac{(r+1)^2(r+1+1)^2}{4}$ »,

c’est-à-dire

${\rm P}(k+1)$ : « $\displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3=\dfrac{(r+1)^2(r+2)^2}{4}$ »

est vraie.

Autrement dit, montrons que

si $\displaystyle \sum_{k=1}^r k^3=\dfrac{r^2(k+1)^2}{4} \quad$ alors $\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3=\dfrac{(r+1)^2(r+2)^2}{4}$.

Par hypothèse de récurrence,

$\displaystyle \sum_{k=1}^r k^3=\dfrac{r^2(r+1)^2}{4}$

En ajoutant $\color{red}{(r+1)^3}$ aux deux membres de l’égalité précédente, nous obtenons

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^r k^3+\color{red}{(r+1)^3}&=&\dfrac{r^2(r+1)^2}{4}+\color{red}{(r+1)^3}. \nonumber \end{eqnarray}

Or le membre de gauche $\displaystyle \sum_{k=1}^r k^3+(r+1)^3$ n’est autre que $\displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3$, d’où

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{r+1} k^3&=&\dfrac{r^2(r+1)^2}{4}+(r+1)^3. \nonumber \end{eqnarray}

Après mise au même dénominateur dans le membre de droite, factorisation par $\color{blue}{(r+1)^2}$ puis simplification du facteur entre $[\ ]$, nous obtenons

\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{r+1} k^3&=&\dfrac{r^2(r+1)^2}{4}+\dfrac{\color{green}{4}(r+1)^3}{\color{green}{4}} \nonumber \\ &=& \dfrac{r^2\color{blue}{(r+1)^2}+4\color{blue}{(r+1)^2}(r+1)}{4} \nonumber \\ &=& \dfrac{\color{blue}{(r+1)^2}[\color{red}{r^2+4(r+1)}]}{4} \nonumber \\ &=& \dfrac{(r+1)^2(\color{red}{r^2+4r+4})}{4} \nonumber  \qquad \qquad \mathrm{(1)} \end{eqnarray}

Nous avons donc obtenu  $\displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3=\dfrac{(r+1)^2\color{orange}{(r^2+4r+4)}}{4}$ et nous voulons démontrer que $\displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3=\dfrac{(r+1)^2\color{orange}{(r+2)^2}}{4}$. Deux choix se présentent à nous : factoriser $\color{orange}{(r^2+4r+4)}$ ou développer $\color{orange}{(r+2)^2}$. Allons au plus rapide et développons $\color{orange}{(r+2)^2}$ en utilisant par exemple l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ :

\begin{eqnarray} (r+2)^2 &=& r^2+4r+4 \nonumber \end{eqnarray}

Ainsi $r^2+4r+4=(r+2)^2$ et $(1)$ devient :

$\displaystyle \sum_{k=1}^{r+1} k^3=\dfrac{(r+1)^2(r+2)^2}{4}$.

${\rm P}(k+1)$ est donc vraie.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(1)$ est vraie et la proposition ${\rm P}(n)$ est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. Ainsi,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ pour tout $n\in \mathbb{N^*}$.