Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 148 p. 101 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé de l’exercice 148 p. 101
Quatre villes sont situées aux quatre sommets d’un carré de côté 150 km. On se propose de les relier par un réseau d’autoroutes de longueur totale minimale.
Pour simplifier les calculs, on peut convenir que le côté du carré est égal à 1.
Le réseau peut être schématisé comme ci-contre.
$\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$ sont les quatre sommets du carré.
$\mathrm{E}$ et $\mathrm{F}$ sont les points de jonction des autoroutes.
Partie A
On désigne par $\alpha$ une mesure en radians de l’angle $\widehat{\mathrm{ABE}}$ et par $f(\alpha)$ la longueur totale du réseau.
1. Démontrer que $\mathrm{EF}=1-\tan \alpha$ et exprimer $\mathrm{EB}$ en fonction de $\alpha$. En déduire que $f(\alpha)=1+\dfrac{2-\sin \alpha}{\cos \alpha}$ avec $0\leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi}{4}$.
2.a. Exprimer $f'(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
b. En déduire que la fonction $f$ admet un minimum en $\dfrac{\pi}{6}$.
c. Calculer la longueur totale minimale du réseau.
Partie B
On appelle $x$ la distance $\mathrm{BE}$ et $g(x)$ la longueur totale du réseau.
1. Justifier que $x$ appartient à l’intervalle $\mathrm{I}=\left[\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt 2}{2} \right]$.
2. Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $I$ :
$g(x)=4x+1-2\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}}$.
3.a. Déterminer l’expression de $g'(x)$ en fonction de $x$.
b. Résoudre dans $\mathrm{I}$ l’inéquation $g'(x)\leqslant 0$.
c. En déduire les variations de $g$ sur $\mathrm{I}$ et conclure.
Correction de l’exercice 147 p. 101
