Exercice 3 p. 22 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n\in \mathbb{N}$ et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $v_n=n(n+1)$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

$\blacktriangleright$ C’est l’énoncé qui vous indique pour quelles valeurs de $n$ vous devez démontrer la propriété et, par conséquent, à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer » (qui sera la valeur de $n$ pour laquelle vous devrez vérifier l’initialisation). L’énoncé dit « Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ … ». « pour tout entier naturel » signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.

Initialisation ($n=0$)

Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{v_0}=\color{green}{0(0+1)}$.

$\blacktriangleright$ Dans l’initialisation, lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $v_0$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $0(0+1).$ Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), nous avons

$\color{blue}{v_0}=0$.

Or

$ \color{green}{0(0+1)}=0\times 1=0$,

donc

$v_0=0(0+1).$

${\rm P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k\geqslant 0$ quelconque,

${\rm P}(k)$ : « $v_k=k(k+1)$ »

soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons alors que

${\rm P}(k+1)$ : « $v_{k+1}=(k+1)(k+2)$ »

ou, sous forme développée,

$\blacktriangleright$ Lorsque l’expression à obtenir est une expression factorisée, comme ici $(k+1)(k+2)$, prenez le réflexe de la développer immédiatement, vous aurez ainsi les deux formes et cela pourra vous être utile par la suite.

${\rm P}(k+1)$ : « $v_{k+1}=k^2+3k+2$ »

est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, montrons que si $\quad v_k=k(k+1)$ alors $\quad v_{k+1}=k²+3k+2$.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), $v_{n+1}=v_n+2n+2$, d’où

$\color{blue}{v_{k+1}}=\color{red}{v_k}\color{blue}{+2k+2}$.

or, par hypothèse de récurrence,

$\color{red}{v_k=k(k+1)}$,

d’où

\begin{eqnarray}\color{blue}{v_{k+1}}&=&\color{red}{k(k+1)}\color{blue}{+2k+2} \nonumber \\ &=& k^2+k+2k+2 \nonumber \\ &=& k^2+3k+2 \nonumber. \end{eqnarray}

Ainsi, nous avons montrer que $v_{k+1}=k^2+3k+2$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, nous venons de montrer que

si $v_k=k(k+1)$ alors $v_{k+1}=k²+3k+2$.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,

$v_n=n(n+1)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.