Exercice 4 p. 22 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n\in \mathbb{N}$ et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $u_n=3-2^{n+1}$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

$\blacktriangleright$ C’est l’énoncé qui vous indique pour quelles valeurs de $n$ vous devez démontrer la propriété et, par conséquent, à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer » (qui sera la valeur de $n$ pour laquelle vous devrez vérifier l’initialisation). L’énoncé dit « Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ … ». « pour tout entier naturel » signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.

Initialisation ($n=0$)

Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{u_0}=\color{green}{3-2^{0+1}}$.

$\blacktriangleright$ Dans l’initialisation, lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $u_0$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $3-2^{0+1}$. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), nous avons

$\color{blue}{u_0}=1$.

Or

$ \color{green}{3-2^{0+1}}=3-2^1=3-2=1$,

donc

$u_0=3-2^{0+1}.$

${\rm P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k\geqslant 0$ quelconque,

${\rm P}(k)$ : « $u_k=3-2^{k+1}$ »

soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons alors que

${\rm P}(k+1)$ : « $u_{k+1}=3-2^{k+1+1}=3-2^{k+2}$

$\blacktriangleright$ Prenez le reflexe de toujours simplifier l’expression à démontrer, par exemple ici, ne pas laisser l’expression sous la forme $3-2^{k+1+1}$, mais l’écrire sous sa forme la plus simple : $3-2^{k+2}$.

est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, montrons que si $\quad u_k=3-2^{k+1}$ alors $\quad u_{k+1}=3-2^{k+2}$.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), $u_{n+1}=2u_n-3$, d’où

$\color{blue}{u_{k+1}=2}\color{red}{u_k}\color{blue}{-3}$.

or, par hypothèse de récurrence,

$\color{red}{u_k=3-2^{k+1}}$,

d’où

\begin{eqnarray}\color{blue}{u_{k+1}}&=&\color{blue}{2}\color{red}{(3-2^{k+1})}\color{blue}{-3} \nonumber \\ &=& 6-2\times 2^{k+1}-3 \nonumber \\ &=& 6-3-2^1\times 2^{k+1} \nonumber \\ &=& 3-2^{k+2} \nonumber. \end{eqnarray}

Ainsi, nous avons montrer que $u_{k+1}=3-2^{k+2}$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, nous venons de montrer que

si $u_k=3-2^{k+1}$ alors $u_{k+1}=3-2^{k+2}$.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,

$u_n=3-2^{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.