Exercice 4 p. 22 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 4 p. 22 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.

Énoncé de l’exercice 4 p. 22


Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

$u_0=1\quad$ et $\quad u_{n+1}=2u_n-3$.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=3-2^{n+1}$.


La suite $(u_n)$ est définie par récurrence (c’est-à-dire par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence) et on vous demande de démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que la relation explicite définissant cette suite (à savoir l’expression de $u_n$ en fonction de $n$) est $u_n=3-2^{n+1}$.

Il s’agit d’une démonstration par récurrence standard.

Correction de l’exercice 4 p. 22

Correction de l'exercice 4 p. 22 Indice Bordas

Soit $n\in \mathbb{N}$ et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $u_n=3-2^{n+1}$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

$\blacktriangleright$ C’est l’énoncé qui vous indique pour quelles valeurs de $n$ vous devez démontrer la propriété et, par conséquent, à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer » (qui sera la valeur de $n$ pour laquelle vous devrez vérifier l’initialisation). L’énoncé dit « Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ … ». « pour tout entier naturel » signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.

Initialisation ($n=0$)

Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{u_0}=\color{green}{3-2^{0+1}}$.

$\blacktriangleright$ Dans l’initialisation, lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $u_0$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $3-2^{0+1}$. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), nous avons

$\color{blue}{u_0}=1$.

Or

$ \color{green}{3-2^{0+1}}=3-2^1=3-2=1$,

donc

$u_0=3-2^{0+1}.$

${\rm P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k\geqslant 0$ quelconque,

${\rm P}(k)$ : « $u_k=3-2^{k+1}$ »

soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons alors que

${\rm P}(k+1)$ : « $u_{k+1}=3-2^{k+1+1}=3-2^{k+2}$

$\blacktriangleright$ Prenez le reflexe de toujours simplifier l’expression à démontrer, par exemple ici, ne pas laisser l’expression sous la forme $3-2^{k+1+1}$, mais l’écrire sous sa forme la plus simple : $3-2^{k+2}$.

est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, montrons que si $\quad u_k=3-2^{k+1}$ alors $\quad u_{k+1}=3-2^{k+2}$.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), $u_{n+1}=2u_n-3$, d’où

$\color{blue}{u_{k+1}=2}\color{red}{u_k}\color{blue}{-3}$.

or, par hypothèse de récurrence,

$\color{red}{u_k=3-2^{k+1}}$,

d’où

\begin{eqnarray}\color{blue}{u_{k+1}}&=&\color{blue}{2}\color{red}{(3-2^{k+1})}\color{blue}{-3} \nonumber \\ &=& 6-2\times 2^{k+1}-3 \nonumber \\ &=& 6-3-2^1\times 2^{k+1} \nonumber \\ &=& 3-2^{k+2} \nonumber. \end{eqnarray}

Ainsi, nous avons montrer que $u_{k+1}=3-2^{k+2}$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, nous venons de montrer que

si $u_k=3-2^{k+1}$ alors $u_{k+1}=3-2^{k+2}$.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,

$u_n=3-2^{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Commentaires

  1. Belo

    Bonjour, je suis entrain de préparer un concours et je suis tombé sur votre site en recherchant solution a un problème de suite . est ce que vous pouvez m’aidez en m’envoyant le lien ou le pdf des énoncées du livre Bordas term S 2012 , j’ai déjà la correction .merci

    1. Auteur
      de l’article
      Laurent

      Bonjour,
      Je ne pourrais malheureusement pas vous aider car je prends les énoncés des exercices d’un manuel que j’ai acheté sur le bon coin.
      Cordialement.
      Laurent.

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