Exercice 5 p. 22 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n$ un entier naturel non nul ($n\in \mathbb{N}^*$) et notons la proposition

${\rm P}(n) : «\ 1+2+3+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ »$.

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n$ un entier naturel, $n\geqslant 1$.

$\blacktriangleright$ C’est l’énoncé qui vous indique pour quelles valeurs de $n$ vous devez démontrer la propriété et, par conséquent, à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer » (qui sera la valeur de $n$ pour laquelle vous devrez vérifier l’initialisation). L’énoncé dit « Montrer que, quel que soit l’entier naturel $n$ non nul, … ». « Quel que soit l’entier naturel non nul » signifie pour tout $n\geqslant 1$, donc à partir de $1$. L’initialisation se fera donc pour $n=1$.

Initialisation ($n=1$)

Démontrons que ${\rm P}(1)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{1}=\color{green}{\dfrac{1(1+1)}{2}}$.

$\blacktriangleright$ Lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux. Ici, cela va être rapide. Le membre de gauche valant 1, il n’y a que le membre de droite à calculer.

Nous avons

$\color{green}{\dfrac{1(1+1)}{2}}=\dfrac{2}{2}=\color{blue}{1}$.

${\rm P}(1)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k$ quelconque, $k\geqslant 1$,

\begin{eqnarray}{\rm P}(k) : «\ 1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2} » \nonumber \end{eqnarray}

soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons alors que

${\rm P}(k+1)$ : « $1+2+3+\cdots +k+1=\dfrac{(k+1)(k+1+1)}{2}=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ »

ou, sous forme développée

$\blacktriangleright$ Lorsque dans l’expression à démontrer, il y a un produit de facteurs, comme ici $(k+1)(k+2)$, prenez le réflexe de le développer immédiatement, vous aurez ainsi les deux formes et cela pourra vous être utile par la suite.

${\rm P}(k+1)$ : « $1+2+3+\cdots +k+1=\dfrac{k^2+3k+2}{2}$ »

est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, montrons que

si $\quad 1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2}$

alors $\quad 1+2+3+\cdots +k+k+1=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$.

 Par hypothèse de récurrence,

$1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2}$

En ajoutant $\color{red}{k+1}$ aux deux membres de l’égalité précédente, nous obtenons

\begin{eqnarray} 1+2+3+\cdots +k+\color{red}{k+1}&=&\dfrac{k(k+1)}{2}+\color{red}{k+1} \nonumber \end{eqnarray}

Puis après mise au même dénominateur et factorisation par $\color{blue}{(k+1)}$, nous obtenons

\begin{eqnarray} 1+2+3+\cdots +k+k+1&=&\dfrac{k(k+1)}{2}+\dfrac{\color{green}{2}(k+1)}{\color{green}{2}} \nonumber \\ &=& \dfrac{k\color{blue}{(k+1)}+2\color{blue}{(k+1)}}{2}\nonumber \\ &=&\dfrac{\color{blue}{(k+1)}(k+2)}{2}\nonumber\end{eqnarray}

Ainsi, nous avons montrer que $1+2+3+\cdots +k+1=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, nous venons de montrer que

si $\quad 1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2}$

alors $\quad 1+2+3+\cdots +k+k+1=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(1)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N^*}$. Ainsi,

$1+2+3+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n\in \mathbb{N^*}$.