Exercice 42 p. 24 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n$ un entier naturel ($n\in \mathbb{N}$) et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $t_n=\dfrac{n}{n+1}$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

$\blacktriangleright$ C’est l’énoncé qui vous indique pour quelles valeurs de $n$ vous devez démontrer la propriété et, par conséquent, à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer » (qui sera la valeur de $n$ pour laquelle vous devrez vérifier l’initialisation). Ici, il est vrai qu’il n’est pas précisé explicitement pour quelles valeurs de $n$ il faut démontrer que $t_n=\dfrac{n}{n+1}$. Dans ce cas revenez à la définition de la suite : « $… (t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ … ». Pour tout entier naturel signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.

Initialisation ($n=0$)

Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{t_0}=\color{green}{\dfrac{0}{0+1}}$.

$\blacktriangleright$ Lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $t_0$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $\dfrac{0}{0+1}$. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), nous avons

$\color{blue}{t_0}=0$.

Or

$ \color{green}{\dfrac{0}{0+1}}=\dfrac{0}{1}=0$,

donc

$t_0=\dfrac{0}{0+1}.$

${\rm P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k\geqslant 0$ quelconque,

${\rm P}(k)$ : « $t_k=\dfrac{k}{k+1}$ »

soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons qu’alors

${\rm P}(k+1)$ : « $t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+1+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$ »

est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, montrons que

si $t_k=\dfrac{k}{k+1}\quad$ alors $\quad t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$.

Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), $t_{n+1}=t_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$, d’où

$t_{k+1}=\color{red}{t_k}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$.

Or, par hypothèse de récurrence,

$\color{red}{t_k=\dfrac{k}{k+1}}$,

d’où

\begin{eqnarray}t_{k+1}&=&\color{red}{\dfrac{k}{k+1}}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \nonumber. \end{eqnarray}

Après mise au même dénominateur des deux fractions, factorisation du numérateur (identité remarquable $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$), puis simplification par $(k+1)$, nous obtenons

\begin{eqnarray}t_{k+1}&=&\dfrac{k\color{green}{(k+2)}}{(k+1)\color{green}{(k+2)}}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{\color{orange}{k^2+2k+1}}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{\color{orange}{(k+1)^2}}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{k+1}{k+2} \nonumber. \end{eqnarray}

Ainsi, nous avons montrer que $t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

$\blacktriangleright$ Autrement dit, nous venons de montrer que

si $t_k=\dfrac{k}{k+1}\quad$ alors $\quad t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,

$t_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.