Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 42 p. 24 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé de l’exercice 42 p. 24
On considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$t_0=0\quad$ et $\quad t_{n+1}=t_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Montrer que $t_n=\dfrac{n}{n+1}$.
La suite $(t_n)$ est définie par récurrence (c’est-à-dire par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence) et on vous demande de démontrer que la relation explicite définissant cette suite (à savoir l’expression de $t_n$ en fonction de $n$) est $t_n=\dfrac{n}{n+1}$. Il n’est aucunement précisé qu’il faille utiliser un raisonnement par récurrence. Il faut malgré tout y penser.
Il s’agit d’une démonstration par récurrence standard.
Correction de l’exercice 42 p. 24
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Soit $n$ un entier naturel ($n\in \mathbb{N}$) et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $t_n=\dfrac{n}{n+1}$ ».
Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.
$\blacktriangleright$ C’est l’énoncé qui vous indique pour quelles valeurs de $n$ vous devez démontrer la propriété et, par conséquent, à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer » (qui sera la valeur de $n$ pour laquelle vous devrez vérifier l’initialisation). Ici, il est vrai qu’il n’est pas précisé explicitement pour quelles valeurs de $n$ il faut démontrer que $t_n=\dfrac{n}{n+1}$. Dans ce cas revenez à la définition de la suite : « $… (t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ … ». Pour tout entier naturel signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.
Initialisation ($n=0$)
Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{t_0}=\color{green}{\dfrac{0}{0+1}}$.
$\blacktriangleright$ Lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $t_0$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $\dfrac{0}{0+1}$. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.
Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), nous avons
$\color{blue}{t_0}=0$.
Or
$ \color{green}{\dfrac{0}{0+1}}=\dfrac{0}{1}=0$,
donc
$t_0=\dfrac{0}{0+1}.$
${\rm P}(0)$ est donc vraie.
Hérédité
Supposons que pour un entier naturel $k\geqslant 0$ quelconque,
${\rm P}(k)$ : « $t_k=\dfrac{k}{k+1}$ »
soit vraie (hypothèse de récurrence).
Montrons qu’alors
${\rm P}(k+1)$ : « $t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+1+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$ »
est vraie.
$\blacktriangleright$ Autrement dit, montrons que
si $t_k=\dfrac{k}{k+1}\quad$ alors $\quad t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$.
Par définition (définition de la suite dans l’énoncé), $t_{n+1}=t_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$, d’où
$t_{k+1}=\color{red}{t_k}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$.
Or, par hypothèse de récurrence,
$\color{red}{t_k=\dfrac{k}{k+1}}$,
d’où
\begin{eqnarray}t_{k+1}&=&\color{red}{\dfrac{k}{k+1}}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \nonumber. \end{eqnarray}
Après mise au même dénominateur des deux fractions, factorisation du numérateur (identité remarquable $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$), puis simplification par $(k+1)$, nous obtenons
\begin{eqnarray}t_{k+1}&=&\dfrac{k\color{green}{(k+2)}}{(k+1)\color{green}{(k+2)}}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{\color{orange}{k^2+2k+1}}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{\color{orange}{(k+1)^2}}{(k+1)(k+2)} \nonumber \\ &=& \dfrac{k+1}{k+2} \nonumber. \end{eqnarray}
Ainsi, nous avons montrer que $t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.
$\blacktriangleright$ Autrement dit, nous venons de montrer que
si $t_k=\dfrac{k}{k+1}\quad$ alors $\quad t_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$.
La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.
Conclusion
${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,
$t_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
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