Exercice 7 p. 22 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n$ un entier naturel, $n\geqslant 1$ et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $2^n\geqslant n$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.

C’est l’énoncé qui vous indique à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer », autrement dit la valeur de $n$ pour laquelle vous devez vérifier l’initialisation. L’énoncé dit « Montrer que … pour tout $n\geqslant 1$. ». « Pour tout $n\geqslant 1$ » signifie pour tout entier naturel à partir de $1$. L’initialisation se fera donc pour $n=1$.

Initialisation ($n=1$)

Démontrons que ${\rm P}(1)$ est vraie, c’est-à-dire que $2^1\geqslant 1$.

Nous avons

$2^1=2$.

Or $2\geqslant 1$,

donc

$2^1\geqslant 1$.

${\rm P}(1)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k\geqslant 1$ quelconque ${\rm P}(k)$ : « $2^k\geqslant k$ » soit vraie (hypothèse de récurrence). Montrons qu’alors

${\rm P}(k+1)$ : « $2 ^{k+1}\geqslant k+1$ est vraie.

Autrement dit, montrons que si $\quad 2^k\geqslant k \quad$ alors $\quad 2^{k+1}\geqslant k+1$.

Très souvent, pour démontrer une inégalité dans un raisonnement par récurrence, il faut partir de l’hypothèse de récurrence. Par manipulation de cette dernière (en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant les deux membres de l’inégalité par un même nombre), il faut arriver à faire apparaître, dans le membre de gauche, le terme souhaité, ici « $2^{k+1}$ ».

Par hypothèse de récurrence,

$2^k\geqslant k$.

Multiplions les deux membres de l’inégalité par $2$, nous obtenons alors

$2\times 2^k\geqslant 2\times k \quad$ car $2>0$,

soit

$2^{k+1}\geqslant 2k$ $\quad (1)$

Or

$k\geqslant 1$,

soit, en ajoutant $k$ aux deux membres de l’inégalité, nous obtenons

$k+k\geqslant 1+k$

ce qui équivaut à

$2k\geqslant k+1$ $\quad (2)$

Ainsi, par transitivité, $(1)$ et $(2)$ donne

$2^{k+1}\geqslant k+1$.

Ainsi, nous avons montrer que $2^{k+1}\geqslant k+1$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(1)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$. Ainsi,

$2^n\geqslant n \quad$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.