Exercice 45 p. 24 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 45 p. 24 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.

Énoncé de l’exercice 45 p. 24


Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

$u_0=8 \quad$ et $\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$.

  1. Montrer par récurrence que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.
  2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

La suite $(u_n)$ est définie par récurrence (c’est-à-dire par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence). Dans une première question, on vous demande de montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$. Ensuite, dans une deuxième question, on vous demande de déduire de ce que vous avez obtenu dans la question précédente le sens de variation de la suite.

Il s’agit d’une démonstration par récurrence standard.

Correction de l’exercice 45 p. 24

Correction de l'exercice 45 p. 24 Indice Bordas

1. Montrer par récurrence que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.

Soit $n$ un entier naturel ($n\in \mathbb{N}$) et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

C’est l’énoncé qui vous indique à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer », autrement dit la valeur de $n$ pour laquelle vous devez vérifier l’initialisation. Ici, il est vrai qu’il n’est pas précisé explicitement pour quelles valeurs de $n$ il faut demontrer que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$. Dans ce cas revenez à la définition de la suite : la suite $(u_n)$ est « définie pour tout entier naturel $n$ … ». Retenons ici « … pour tout entier naturel … » qui signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.

Initialisation ($n=0$)

Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vraie, c’est-à-dire que $u_1-u_0\leqslant 0$.

Par définition,

$u_0=8$

et la relation de récurrence nous donne

$u_1=\dfrac{1}{4}u_0+3=\dfrac{1}{4}\times 8+3=2+3=5$.

Nous avons donc

$u_1-u_0=5-8=-3$.

Or $-3\leqslant 0$, d’où

$u_1-u_0\leqslant 0$.

${\rm P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k$ quelconque, ${\rm P}(k)$ : « $u_{k+1}-u_k\leqslant 0$ » soit vraie (hypothèse de récurrence). Montrons qu’alors

${\rm P}(k+1)$ : « $u_{k+2}-u_{k+1}\leqslant 0$ » est vraie.

Pour démontrer une telle inégalité dans un raisonnement par récurrence, il peut être judicieux d’exprimer $u_{k+2}$ à l’aide de la relation de récurrence définissant la suite (car valable pour tout $n$, et donc pour $k+2$, k étant un entier naturel donné) puis de soustraire membre à membre les expressions de $u_{k+2}$, ainsi obtenu, et de $u_{k+1}$. Voyons comment procéder.

Par définition, pour tout $n$

$u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$.

d’où

$u_{k+1}=\dfrac{1}{4}u_{k}+3$. $\qquad (1)$

De même

$u_{k+2}=\dfrac{1}{4}u_{k+1}+3$. $\qquad (2)$

Soustrayons membre à membre les expressions précédentes, c’est-à-dire faisons $(2)-(1)$. Nous obtenons

\begin{eqnarray}u_{k+2}-u_{k+1}&=&\dfrac{1}{4}u_{k+1}+3-\left(\dfrac{1}{4}u_{k}+3 \right) \nonumber \\ &=& \dfrac{1}{4}u_{k+1}+3-\dfrac{1}{4}u_{k}-3 \nonumber \\ &=& \dfrac{1}{4}u_{k+1}-\dfrac{1}{4}u_{k} \nonumber \\ &=& \dfrac{1}{4}(u_{k+1}-u_{k}) \nonumber \end{eqnarray}

Or, par hypothèse de récurrence,

$u_{k+1}-u_k\leqslant 0$

D’où, puisque $\dfrac{1}{4}>0$,

$u_{k+2}-u_{k+1}\leqslant 0$.

Ainsi ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,

$u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

 

2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Nous avons démontré dans la question précédente que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ceci signifie que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ qui est la définition même d’une suite décroissante. Nous pouvons donc en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.

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