Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 45 p. 24 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé de l’exercice 45 p. 24
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$u_0=8 \quad$ et $\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$.
- Montrer par récurrence que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$.
- En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence (c’est-à-dire par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence). Dans une première question, on vous demande de montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$. Ensuite, dans une deuxième question, on vous demande de déduire de ce que vous avez obtenu dans la question précédente le sens de variation de la suite.
Il s’agit d’une démonstration par récurrence standard.