Exercice 47 p. 24 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

1. a. Étudiez les variations sur $[2;4]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{4}{x}\right)$

Pour l’étude de $f$, procédons comme pour toute étude de variation d’une fonction :

1. détermination de la fonction dérivée $f’$ de $f$ ;
2. étude du signe de $f’$ ;
3. déduction des variations de $f$ à partir du signe de $f’$.

La fonction $f$ peut être considérée comme la somme de deux fonctions

$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{4}{x} \right)=\underbrace{\dfrac{x}{2}}_{\mathrm{fonction\ 1}}+\underbrace{\dfrac{2}{x}}_{\mathrm{fonction\ 2}}$

définies et dérivables sur $[2;4]$. Elle est donc définie et dérivable sur $[2;4]$ et pour tout $x\in[2;4]$, nous avons

\begin{eqnarray}f'(x)&=&\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right) \nonumber \end{eqnarray}

Après mise au même dénominateur puis factorisation (il faudra pour cela remarquer l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$), nous obtenons

\begin{eqnarray}f'(x)&=&\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\color{blue}{x^2}}{\color{blue}{x^2}}-\dfrac{4}{x^2}\right) \nonumber \\ &=& \dfrac{1}{2} \dfrac{\color{green}{x^2-4}}{x^2} \nonumber \\ &=&  \dfrac{1}{2} \dfrac{\color{green}{(x-2)(x+2)}}{x^2} \nonumber \end{eqnarray}

Il nous faut maintenant étudier le signe de $f'(x)$ sur $[2;4]$.

Sur $[2;4]$, nous avons

\begin{eqnarray}2\leqslant x \leqslant 4 &\iff& \underbrace{2\color{blue}{-2}\leqslant x\color{blue}{-2} \leqslant 4\color{blue}{-2}}_{\mathrm{ajout\ de\ \color{blue}{-2}\ à\ chaque\ membre}} \nonumber \\ &\iff& 0\leqslant x-2 \leqslant 2 \nonumber \end{eqnarray}

Soit

$x-2\geqslant 0$.

De même, toujours sur $[2;4]$,

\begin{eqnarray}2\leqslant x \leqslant 4 &\iff& \underbrace{2\color{blue}{+2}\leqslant x\color{blue}{+2} \leqslant 4\color{blue}{+2}}_{\mathrm{ajout\ de\ \color{blue}{+2}\ à\ chaque\ membre}} \nonumber \\ &\iff& 2\leqslant x+2 \leqslant 6 \nonumber \end{eqnarray}

Nous avons donc

$x+2\geqslant 2$.

Or

$2\geqslant 0$,

d’où

$x+2\geqslant 0$.

De plus,

$x^2>0$ (un carré est toujours positifs) et $\dfrac{1}{2}>0$,

d’où

$f'(x)=\underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\geqslant 0}\dfrac{\overbrace{(x-2)}^{\geqslant 0}\overbrace{(x+2)}^{\geqslant 0}}{\underbrace{x^2}_{\geqslant 0}} \geqslant 0\quad $ sur $\quad [2;4]$.

La dérivée $f'(x)$ de $f$ est positive sur $[2;4]$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[2;4]$. D’où le tableau de variation

b. En déduire que, pour tout $x$ de $[2;4]$, $2\leqslant f(x) \leqslant 4$.

Dans la question précédente, nous avons démontré que la fonction $f$ est croissante sur $[2;4]$ donc

$f(2)\leqslant f(x) \leqslant f(4)$.

Or

$f(2)=\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{4}{2}\right)=2 \quad$ et $\quad f(4)=\dfrac{1}{2}\left(4+\dfrac{4}{4}\right)=\dfrac{5}{2}\leqslant 4$.

D’où

$2\leqslant f(x) \leqslant \dfrac{5}{2} \leqslant 4$,

soit

$2\leqslant f(x) \leqslant 4$.

 

2. Montrer par récurrence que, pour tout $n$, $2\leqslant u_n \leqslant 4$.

Soit $n$ un entier naturel ($n\in \mathbb{N}$) et notons la proposition ${\rm P}(n)$ : « $2\leqslant u_n\leqslant 4$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

C’est l’énoncé qui vous indique à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer », autrement dit la valeur de $n$ pour laquelle vous devez vérifier l’initialisation. L’énoncé dit « Montrer par récurrence que, pour tout $n$ … ». « … pour tout $n$ … » signifie pour tout $n\geqslant 0$, donc à partir de $0$. L’initialisation se fera donc pour $n=0$.

Initialisation ($n=0$)

Démontrons que ${\rm P}(0)$ est vraie, c’est-à-dire que $2\leqslant u_0\leqslant 4$.

Nous avons par définition

$u_0=3$.

Or

$2\leqslant 3 \leqslant 4$,

donc

$2\leqslant u_0 \leqslant 4$.

${\rm P}(0)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k$ quelconque, ${\rm P}(k)$ : « $2\leqslant u_k\leqslant 4$ » soit vraie (hypothèse de récurrence). Montrons qu’alors

${\rm P}(k+1)$ : « $2\leqslant u_{k+1}\leqslant 4$ est vraie.

Autrement dit, montrons que si $\quad 2\leqslant u_k\leqslant 4 \quad$ alors $2\leqslant u_{k+1}\leqslant 4$.

Ici, il faut penser à se servir des résultats obtenus dans les questions précédentes. Il faut comprendre que si l’on vous demande d’étudier une fonction, c’est qu’il faudra sans aucun doute utiliser par la suite les résultats obtenus.

Par hypothèse de récurrence,

$2\leqslant u_k\leqslant 4$.

La fonction $f$ étant croissante, nous avons alors

$f(2)\leqslant f(u_k)\leqslant f(4)$.

Or

$f(u_k)=\dfrac{1}{2}\left(u_k+\dfrac{4}{u_k}\right)=u_{k+1}$.

D’où

$f(2)\leqslant u_{k+1}\leqslant f(4)$.

J’ai eu l’idée d’appliquer la fonction $f$ à l’encadrement $2\leqslant u_k\leqslant 4$ (autrement dit de prendre l’image par $f$ de chaque membre de l’encadrement) parce que j’avais remarqué la similarité de forme de l’expression de $f$ et de $u_{n+1}$ et qu’en prenant l’image de $u_n$ par $f$, j’obtiendrai $u_{n+1}$.

De plus, nous avions montré plus haut que $f(2)=2$ et $f(4)=\dfrac{5}{2}\leqslant 4$, ce qui implique

$2\leqslant u_{k+1}\leqslant \dfrac{5}{2}\leqslant 4$.

Ainsi, nous avons montrer que $2\leqslant u_{k+1}\leqslant 4$, donc que ${\rm P}(k+1)$ est vraie.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(0)$ est vraie et la proposition est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. Ainsi,

$2\leqslant u_n\leqslant 4$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.