Je vous propose une correction détaillée de l’exercice 47 p. 24 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé de l’exercice 47 p. 24
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :
$u_0=3 \quad$ et $\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( u_n+\dfrac{4}{u_n}\right)$.
1. a. Étudiez les variations sur $[2;4]$ de la fonction $f$ définie par
\begin{eqnarray}f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{4}{x}\right) \nonumber \end{eqnarray}
b. En déduire que, pour tout $x$ de $[2;4]$, $2\leqslant f(x) \leqslant 4$.
2. Montrer par récurrence que, pour tout $n$, $2\leqslant u_n \leqslant 4$.
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence (c’est-à-dire par la donnée de son premier terme et d’une relation de récurrence). Dans une première question, on vous demande d’étudier les variations d’une fonction puis de montrer qu’elle est bornée. Dans une deuxième question, on vous demande de démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est aussi bornée. Le fait d’avoir étudié une fonction dans la première question doit vous faire pensez qu’il faudra probablement l’utiliser dans la question suivante.