Exercice 50 p. 24 – Maths Terminale S – Indice Bordas 2012

Soit $n$ un entier naturel non nul ($n\in \mathbb{N}^*$) et notons la proposition

${\rm P}(n)$ : « $\displaystyle \sum_{q=1}^n q^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ».

Démontrons par récurrence que ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout $n$ un entier naturel, $n\geqslant 1$.

C’est l’énoncé qui vous indique à partir de quelle valeur de $n$ le raisonnement par récurrence doit « démarrer », autrement dit la valeur de $n$ pour laquelle vous devez vérifier l’initialisation. L’énoncé dit « … la somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls. ». « $n$ premiers entiers naturels non nuls » signifie pour tout $n\geqslant 1$, donc à partir de $1$. L’initialisation se fera donc pour $n=1$.

Initialisation ($n=1$)

Démontrons que ${\rm P}(1)$ est vrai, c’est-à-dire que $\color{blue}{\displaystyle  \sum_{q=1}^1 q^2}=\color{green}{\dfrac{1\times(1+1)(2\times 1+1)}{6}}$.

Lorsque vous avez une égalité à démontrer, ce qui est le cas ici, étudiez chacun des membres de l’égalité séparément. Voyez dans un premier temps ce que vaut le terme de gauche, $\displaystyle  \sum_{q=1}^1 q^2$, puis dans un deuxième temps ce que vaut le terme de droite $\dfrac{1\times(1+1)(2\times 1+1)}{6}$. Si vous prouvez qu’ils valent la même valeur, alors vous pourrez conclure qu’ils sont égaux.

Nous avons

$\color{blue}{\displaystyle  \sum_{q=1}^1 q^2}=1^2=1$,

et

$ \color{green}{\dfrac{1\times(1+1)(2\times 1+1)}{6}}=\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=\dfrac{6}{6}=1$.

Donc

$\displaystyle  \sum_{q=1}^1 q^2=\dfrac{1\times(1+1)(2\times 1+1)}{6}$.

${\rm P}(1)$ est donc vraie.

Hérédité

Supposons que pour un entier naturel $k$ quelconque, $k\geqslant 1$,

${\rm P}(k)$ : « $\displaystyle \sum_{q=1}^k q^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ » soit vraie (hypothèse de récurrence).

Montrons alors que

${\rm P}(k+1)$ : « $\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2=\dfrac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}$ »,

c’est-à-dire (après simplification du membre de droite)

${\rm P}(k+1)$ : « $\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ »

est vraie.

Autrement dit, montrons que

si $\displaystyle \sum_{q=1}^k q^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

alors $\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Par hypothèse de récurrence,

$\displaystyle \sum_{q=1}^k q^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

En ajoutant $\color{red}{(k+1)^2}$ aux deux membres de l’égalité précédente, nous obtenons

\begin{eqnarray} \sum_{q=1}^k q^2+\color{red}{(k+1)^2}&=&\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\color{red}{(k+1)^2}. \nonumber \end{eqnarray}

Or le membre de gauche $\displaystyle \sum_{q=1}^k q^2+(k+1)^2$ n’est autre que $\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2$, d’où

\begin{eqnarray} \sum_{q=1}^{k+1} q^2&=&\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2. \nonumber \end{eqnarray}

Après mise au même dénominateur dans le membre de droite, factorisation par $\color{blue}{(k+1)}$ puis simplification du facteur entre $[~]$, nous obtenons

\begin{eqnarray} \sum_{q=1}^{k+1} q^2&=&\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\dfrac{\color{green}{6}(k+1)^2}{\color{green}{6}} \nonumber \\ &=& \dfrac{k\color{blue}{(k+1)}(2k+1)+6\color{blue}{(k+1)}^2}{6} \nonumber \\ &=& \dfrac{\color{blue}{(k+1)}[\color{red}{k(2k+1)+6(k+1)}]}{6} \nonumber \\ &=& \dfrac{(k+1)(\color{red}{2k^2+k+6k+6})}{6} \nonumber \\ &=& \dfrac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}  \nonumber  \qquad \qquad \mathrm{(1)} \end{eqnarray}

Nous venons de montré que $\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2=\dfrac{(k+1)\color{orange}{(2k^2+7k+6)}}{6}$ et nous voulons démontrer que $\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2=\dfrac{(k+1)\color{orange}{(k+2)(2k+3)}}{6}$. Deux choix se présentent à nous : factoriser $\color{orange}{(2k^2+7k+6)}$ ou développer $\color{orange}{(k+2)(2k+3)}$. Allons au plus rapide et développons $\color{orange}{(k+2)(2k+3)}$ :

\begin{eqnarray} (k+2)(2k+3) &=& 2k^2+3k+4k+6 \nonumber \\ &=& 2k^2+7k+6 \nonumber \end{eqnarray}

Ainsi $2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$ et $(1)$ devient :

$\displaystyle \sum_{q=1}^{k+1} q^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

${\rm P}(k+1)$ est donc vraie.

La propriété ${\rm P}(n)$ est donc héréditaire.

Conclusion

${\rm P}(1)$ est vraie et la proposition ${\rm P}(n)$ est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence ${\rm P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. Ainsi,

$\displaystyle \sum_{q=1}^n q^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour tout $n\in \mathbb{N^*}$.