Tangente 
Nombre dérivé 
Fonction dérivée
Passons au nombre dérivé d’une fonction en un point
Nous allons maintenant considérer que la courbe précédente représente une fonction $f$ donnée. Notons-la $\mathcal{C}_f$. De même, notons $a$ l’abscisse du point $\mathrm{A}$. Le point $\mathrm{A}$ appartenant à $\mathcal{C}_f$, son ordonnée est $f(a)$. Les coordonnées de $\mathrm{A}$ sont donc $(a; f(a))$. Puis nous choisissons de poser $a+h$ (avec $h\neq0$) pour l’abscisse du point $\mathrm{M}$. Son ordonnée est donc $f(a+h)$ et ses coordonnées $(a+h;f(a+h))$. Nous avons alors la figure suivante.
Vous pouvez vous demander (à juste titre !) pourquoi poser « $a+h$ » pour l’abscisse du point $\mathrm{M}$. C’est une astuce de mathématicien ! Vous allez comprendre.
Déterminons tout d’abord, à partir des données de la figure précédente, l’expression du coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AM})$. Étant donné qu’elle passe par les point $\mathrm{A}(a; f(a))$ et $\mathrm{M}(a+h; f(a+h))$, nous obtenons
\begin{equation} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} \nonumber \end{equation}
qui après simplification donne
\begin{equation} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \label{coeffdir} \end{equation}
Si nous faisons tendre $h$ vers $0$, $a+h$ tend alors vers $a$. Ainsi, faire tendre $h$ vers $0$ signifie géométriquement que le point $\mathrm{M}$ tend vers le point $\mathrm{A}$ et donc que la droite $(\mathrm{AM})$ tend alors vers la position limite de tangente à $\mathcal{C}_f$ en $\mathrm{A}$. Ainsi, en faisant tendre $h$ vers $0$ dans l’expression \eqref{coeffdir} du coefficient directeur de la droite $(\mathrm{AM})$ nous obtiendrons le coefficient directeur de cette droite $(\mathrm{AM})$ dans sa position limite, à savoir celle de tangente à la courbe au point $\mathrm{A}$. Héhé, rusé l’mathématicien !
Ainsi, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $\mathrm{A}$, d’abscisse $a$, est obtenu en faisant tendre $h$ vers $0$ dans l’expression \eqref{coeffdir}, autrement dit en déterminant la limite quand $h$ tend vers $0$ de \eqref{coeffdir} :
\begin{equation} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \nonumber \end{equation}
Maintenant, un peu de vocabulaire. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $a$ (s’il existe et est fini, car cette limite peut être infinie) porte un nom. Nous l’appelons nombre dérivé de $f$ en $a$ et le notons $f'(a)$. Et si ce nombre dérivé en $a$ existe et est fini, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$.
Voilà, c’est tout pour le nombre dérivé ! Enfin, en tout cas pour ce qui est de sa définition. Voyons maintenant un exemple.
Exemple de calcul du nombre dérivé d’une fonction en un point
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$. Déterminons le nombre dérivé de $f$ en $2$, autrement dit $f'(2)$.
Il nous faut donc déterminer
\begin{equation} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}. \nonumber \end{equation}
Exprimons tout d’abord
\begin{equation} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}, \nonumber \end{equation}
nous ferons ensuite tendre $h$ vers $0$ dans l’expression obtenue.
Nous avons
\begin{equation} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2+1-(2^2+1)}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h, \nonumber \end{equation}
d’où
\begin{equation} \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}= \lim\limits_{h \to 0} (4+h)=4. \nonumber \end{equation}
La limite existe et est finie, la fonction est donc dérivable et le nombre dérivé de $f$ en 2 est $f'(2)=4$. Ce qui signifie graphiquement que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x=2$ a pour coefficient directeur $4$.
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