Tangente à une courbe en un point

Dérivation                Tangente                Nombre dérivé

 

Alors, qu’est-ce qu’une tangente ?

Considérons une courbe $\mathcal{C}$ quelconque et un point $\mathrm{A}$ appartenant à cette courbe. Nous allons donc définir ce que nous appelons tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $\mathrm{A}$.

Soutien scolaire Orléans Sud - Dérivée - Courbe pour la définition de la tangente
Figure 1

Pour ce faire, nous allons avoir besoin de tracer une droite sécante à la courbe. Plaçons à cet effet un deuxième point appartenant à $\mathcal{C}$ que nous nommerons $\mathrm{M}$ et considérons alors la droite $(\mathrm{AM})$, sécante à la courbe $\mathcal{C}$.

Figure 2

Si le point $\mathrm{M}$ se déplace sur la courbe $\mathcal{C}$, dans un sens ou dans l’autre, le point $\mathrm{A}$ restant fixe, la direction de la droite sécante $(\mathrm{AM})$, et donc sa pente (son coefficient directeur), varie, comme le montre les deux figures suivantes mais sans qu’il y aie de position de cette sécante particulièrement « intéressante ».

Supposons maintenant que le point $\mathrm{M}$ se rapproche de plus en plus du point $\mathrm{A}$, ce dernier restant toujours fixe, comme le montre les figures suivantes.

Encore…

et encore…

Nous pouvons constater, déjà à ce stade, que la position de la sécante $(\mathrm{AM})$ n’évolue plus beaucoup à mesure que $\mathrm{M}$ se rapproche de $\mathrm{A}$ et tend vers une position particulière. Imaginons maintenant que le point $\mathrm{M}$ se rapproche infiniment du point $\mathrm{A}$ mais sans jamais se superposer à lui. La sécante $(\mathrm{AM})$ tend alors vers une position limite. Cette position limite, ou plus exactement la droite $(\mathrm{AM})$ dans cette position limite, est appellée tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $\mathrm{A}$.

Voilà pour la tangente à une courbe en un point !

Passons au calcul du coefficient directeur d’une telle tangente. Nous allons le faire dans le cas où la courbe est la représentation graphique d’une fonction donnée. Et c’est précisément le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d’une fonction en un « point » que nous appellerons nombre dérivé de la fonction en ce « point ».

 

Dérivation                Tangente                Nombre dérivé

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