Je vous propose une correction détaillée du Sujet C p. 127 du manuel de Terminale S Indice Bordas 2012. N’hésitez pas à laisser un commentaire et à me contacter pour me signaler une erreur.
Énoncé du Sujet C p. 127
Le but de l’exercice est de démontrer que l’équation (E) : $\mathrm{e}^x=\dfrac{1}{x}$ admet une unique solution dans l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.
Partie A. Existence et unicité de la solution
On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=x-\mathrm{e}^x$.
1. Démontrer que $x$ est solution de l’équation (E) si et seulement si $f(x)=0$.
2.a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
b. En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $\alpha$.
c. Démontrer que $\alpha$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.
d. Étudier le signe de $f$ sur l’intervalle $[0;\alpha]$.
Partie B. Deuxième approche
On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0,1]$ par :
$g(x)=\dfrac{1+x}{1+\mathrm{e}^x}$.
1. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ est équivalente à l’équation $g(x)=x$.
2. En déduire que $\alpha$ est l’unique réel vérifiant $g(\alpha)=\alpha$.
3. Calculer $g'(x)$ et en déduire que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$.
Partie C. Construction d’une suite de réels ayant pour limite $\alpha$
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=g(u_n)$
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \alpha$.
2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
3. Justifier l’égalité $g(l)=l$. Déduisez-en la valeur de $l$.
4.a. Écrire un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de $u_4$, à $10^{-6}$ près.
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer cette valeur approchée de $u_4$.
Correction du Sujet C p. 127
