BCPST1 – Optique – Champ d’un appareil photo

1. La question est une application assez directe du cours d’optique sur les lentilles minces.

Pour déterminer la taille de l’image de l’immeuble sur le film, il suffit de déterminer la taille de l’image donnée par la lentille. On suppose en effet que l’image se forme sur le film.

Qu’avons-nous à notre disposition (formules du cours) faisant intervenir la dimension de l’image ? Et bien il y a la formule du grandissement transversal. Si nous notons $\overline{\mathrm{AB}}$ la taille de l’objet (en valeur algébrique) et $\overline{\mathrm{A’B’}}$ la taille de l’image, elle s’écrit :

$\gamma=\dfrac{\overline{\mathrm{A’B’}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$

qui dans le cas d’une lentille mince, peut s’écrire:

$\gamma=\dfrac{\overline{\mathrm{A’B’}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA’}}}{\overline{\mathrm{OA}}}$

$\mathrm{O}$ étant le centre de la lentille.

On a déduit alors que

$\begin{eqnarray}\overline{\mathrm{A’B’}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA’}}}{\overline{\mathrm{OA}}}\times \overline{\mathrm{AB}}\end{eqnarray}$

Bien. Pour déterminer $\overline{\mathrm{A’B’}}$, il nous faut connaître toutes les grandeurs intervenant dans le membre de droite ou du moins pouvoir toutes les exprimer en fonction de grandeurs connues (données dans l’énoncé). Nous connaissons $\overline{\mathrm{AB}}$ (taille de l’objet, à savoir l’immeuble) et $\overline{\mathrm{OA}}$ (position de l’objet par rapport à la lentille). Par contre nous ne connaissons pas $\overline{\mathrm{OA’}}$. Il nous faut donc la déterminer. Nous allons le faire à l’aide de la relation de conjugaison d’une lentille mince qui s’écrit:

$\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA’}}}-\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\dfrac{1}{f’}$

On obtient alors

$\begin{eqnarray}\overline{\mathrm{OA’}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA}}\times f’}{\overline{\mathrm{OA}}+f’}\end{eqnarray}$.

D’où finalement en substituant $(2)$ dans $(1)$

$\overline{\mathrm{A’B’}}=\dfrac{\left(\dfrac{\overline{\mathrm{OA}}\times f’}{\overline{\mathrm{OA}}\times f’}\right)}{\overline{\mathrm{OA}}}\times \overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{f’}{\overline{\mathrm{AO}}+f’}\times \overline{\mathrm{AB}}$

A.N. : $\overline{\mathrm{A’B’}}=\dfrac{5\cdot 10^{-2}}{500+5\cdot 10^{-2}}\times 20\simeq 2\cdot 10^{-3}~\mathrm{cm}=2~\mathrm{mm}$

2. Ici, d’une certaine façon, c’est l’inverse de ce que nous avons fait dans la question précédente que l’on demande de faire; Soit, connaissant la taille de l’image, remonter à la position de l’objet. 

Explicitons la situation. Plus on s’approche de l’immeuble, plus l’image sur le film s’agrandit. À une certaine distance, la taille de l’image sera telle que si l’on s’approche encore un peu plus, elle dépassera les dimensions du film. L’immeuble ne sera alors plus photographier intégralement. C’est cette distance que l’on cherche à déterminer, la distance minimale immeuble-lentille pour laquelle l’image sur le film est maximale.

Mais l’image de l’immeuble est maximale si elle occupe l’intégralité du film, c’est-à-dire si sa dimension est de $36~\mathrm{mm}$. On choisira en effet de prendre la photo en format portrait car c’est se format qui permettra de minimiser cette distance. Mais attention ! L’image sur le film est réelle. Et l’on sait que l’image réelle d’un objet réel droit par une lentille convergente est inversée (voir l’exercice Lentille convergente et objet réel). Donc, on a $\overline{\mathrm{A’B’}}=-36~\mathrm{mm}$.

On cherche donc à déterminer la position de l’immeuble, autrement dit la distance $\overline{\mathrm{OA}}$ telle que $\overline{\mathrm{A’B’}}=-36~\mathrm{mm}$.

Donc en effet, connaissant la taille de l’image $\overline{\mathrm{A’B’}}$, il faut remonter à la position de l’objet $\overline{\mathrm{OA}}$.

Alors, allons-y !

Puisqu’il s’agit de déterminer $\overline{\mathrm{OA}}$, la relation de conjugaison s’impose :

$\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA’}}}-\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\dfrac{1}{f’}$

Or, la relation donnant le grandissement nous permet d’exprimer $\overline{\mathrm{OA’}}$ en fonction de $\overline{\mathrm{OA}}$ et des données. En effet

$\gamma=\dfrac{\overline{\mathrm{A’B’}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\dfrac{\overline{\mathrm{OA’}}}{\overline{\mathrm{OA}}} \iff \overline{\mathrm{OA’}}=\gamma \overline{\mathrm{OA}}$

avec $\gamma=\dfrac{\overline{\mathrm{A’B’}}} {\overline{\mathrm{AB}}}$ qui est connu puisque $\overline{\mathrm{AB}}=20~\mathrm{m}$ et $\overline{\mathrm{A’B’}}=-3,6\cdot 10^{-2}~\mathrm{m}$.

La relation de conjugaison devient alors

$\begin{eqnarray} \dfrac{1}{\gamma \overline{\mathrm{OA}}}-\dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}=\dfrac{1}{f’} &\iff& \dfrac{1}{ \overline{\mathrm{OA}}}\left( \dfrac{1}{\gamma}-1\right)=\dfrac{1}{f’} \nonumber \\ &\iff& \dfrac{1}{\overline{\mathrm{OA}}}\left(\dfrac{1-\gamma}{\gamma}\right)=\dfrac{1}{f’} \nonumber \\ &\iff& \overline{\mathrm{OA}}\left(\dfrac{\gamma}{1-\gamma}\right)=f’ \nonumber \\ &\iff& \overline{\mathrm{OA}}=\left(\dfrac{1-\gamma}{\gamma}\right)f’ \nonumber \end{eqnarray}$

avec rappelons-le $\gamma=\dfrac{\overline{\mathrm{A’B’}}} {\overline{\mathrm{AB}}}$

A.N. : $\gamma=\dfrac{-3,6\cdot 10^{-2}}{20}=-1,8\cdot 10^{-3}$.

D’où, $\overline{\mathrm{OA}}=\left(\dfrac{1+1,8\cdot 10^{-3}}{-1,8\cdot 10^{-3}}\right)\times 5\cdot 10^{-2}\simeq -28~\mathrm{m}$.

Ainsi, on pourra s’approcher jusqu’à $28~\mathrm{m}$ de l’immeuble tout en étant certain qu’il sera photographié intégralement.