BCPST1 – Mécanique – Du mouvement à la force…

∗ Le système étudié est le point matériel $\mathrm{M}$ de masse $m$.

∗ L’étude sera réalisée dans un référentiel $\mathfrak{R}$ supposé galliléen (le référentiel terrestre par exemple).

∗ Le référentiel $\mathfrak{R}$ sera muni d’un repère de coordonnées cartésiennes à deux dimensions d’origine $\mathrm{O}$ et de base $(\overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y})$ orthonormée directe.

∗ Ici, le schéma n’est pas bien utile. Nous aurions en effet qu’à tracer le repère précité.

∗ Dans le référentiel $\mathfrak{R}$ muni du repère $(\mathrm{O}; \overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y})$ le point $\mathrm{M}$ a pour coordonnées en fonction du temps (équations horaires) :

$\left\{\begin{eqnarray}x(t)&=&R(\omega t +\sin \omega t) \nonumber \\ y(t)&=&-R(1-\cos \omega t) \nonumber \end{eqnarray} \right.$

qui correspondent aux coordonnées du vecteur position $\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)$ que nous pouvons alors écrire sous la forme vectorielle :

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)=x(t)\overrightarrow{u_x}+y(t)\overrightarrow{u_y}=R(\omega t +\sin \omega t)\overrightarrow{u_x}-R(1-\cos \omega t)\overrightarrow{u_y}$

Nous lui préférerons néanmoins la forme scalaire suivante :

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t) \left\{\begin{eqnarray}x(t)&=&R(\omega t +\sin \omega t) \nonumber \\ y(t)&=&-R(1-\cos \omega t) \nonumber \end{eqnarray} \right.$

plus commode à manipuler.

∗ Les forces extérieures agissant sur le système ont une résultante $\overrightarrow{F}$ que nous devons déterminer.

∗  D’après la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) appliquée, dans $\mathfrak{R}$, au système, la résultante des forces extérieures s’exerçant sur le point matériel $\mathrm{M}$ de masse $m$ constante a pour expression:

$$\overrightarrow{F}=\sum \overrightarrow{F}_{ext}=m\cdot \overrightarrow{a}(t)$$

Donc pour pouvoir déterminer la résultante $\overrightarrow{F}$, il faut déterminer l’accélération $\overrightarrow{a}(t)$ du point $\mathrm{M}$ dans $\mathfrak{R}$.

Dans un premier temps, dérivons par rapport au temps le vecteur position du point $\mathrm{M}$ pour obtenir son vecteur vitesse. Puis, dans un deuxième temps, dérivons par rapport au temps le vecteur vitesse pour obtenir son vecteur accélération. Ainsi, dans $\mathfrak{R}$ :

$$ \overrightarrow{v}(t)=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)}{\mathrm{d}t} \iff \left\{\begin{eqnarray}v_x(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=R(\omega+\omega \cos \omega t) \nonumber \\ v_y(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=-R(\omega \sin \omega t) \nonumber \end{eqnarray} \right.  $$

puis

$$ \overrightarrow{a}(t)=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}(t)}{\mathrm{d}t} \iff \left\{\begin{eqnarray}a_x(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}v_x(t)}{\mathrm{d}t}=R(-\omega^2 \sin \omega t)=-R\omega^2\sin \omega t \nonumber \\ a_y(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}v_y(t)}{\mathrm{d}t}=-R(\omega^2\cos \omega t)=-R\omega^2 \cos \omega t \nonumber \end{eqnarray} \right.  $$

Les coordonnées de la résultante $\overrightarrow{F}$ sont :

$$ \overrightarrow{F}(t)=m\cdot \overrightarrow{a}(t) \iff \left\{\begin{eqnarray}F_x(t)&=& m\cdot a_x(t)=-mR\omega^2\sin \omega t \nonumber \\ F_y(t)&=&m\cdot a_y(t)=-mR\omega^2 \cos \omega t \nonumber \end{eqnarray} \right.  $$

Nous venons de déterminer la résultante des forces agissant sur $\mathrm{M}$.

Écrivons-la aussi sous forme vectorielle :

$\overrightarrow{F}(t)=F_x(t)\overrightarrow{u_x}+F_y(t)\overrightarrow{u_y}=-mR\omega^2\sin(\omega t)\overrightarrow{u_x}-mR\omega^2 \cos (\omega t)\overrightarrow{u_y}$

On nous demandait de déterminer uniquement $\overrightarrow{F}$, mais rien ne nous empêche d’en déterminer aussi la norme:

$\begin{eqnarray}F=\left\|\overrightarrow{F}\right\|&=&\sqrt{F_x^2+F_y^2}\nonumber \\ &=&\sqrt{m^2R^2\omega^4\sin^2\omega t+m^2R^2\omega^4\cos^2\omega t} \nonumber \\ &=&\sqrt{m^2R^2\omega^4(\sin^2\omega t+\cos^2\omega t)}\nonumber \\ &=&\sqrt{m^2R^2\omega^4}\nonumber \\ &=&mR\omega^2 \nonumber \end{eqnarray}$

Remarquons que la norme de la résultante $\overrightarrow{F}$ ne dépend pas du temps alors que ces composantes $F_x$ et $F_y$ en dépendaient.