BCPST1 – Mécanique – Du mouvement à la force…

Cette exercice est une application assez directe du cours. Il fait appel à la loi fondamentale de la mécanique ainsi qu’aux grandeurs de base de la cinématique. Connaissant l’équation paramétrique de la trajectoire d’un point matériel, il est demandé de déterminer la résultante des forces s’exerçant sur ce point. Pour cela, il faudra appliquer la deuxième loi de Newton puis déterminer successivement les coordonnées du vecteur vitesse puis celle du vecteur accélération.

Énoncé de l’exercice

Du mouvement à la force…


L’espace est rapporté à un référentiel galiléen $\mathfrak{R}$. Un point matériel décrit une trajectoire ayant la forme d’une cycloïde, d’équation paramétrique dans le système d’axes $\mathrm{O}x, \mathrm{O}y$, lié à $\mathfrak{R}$ :

$\begin{eqnarray} \mathrm{M} \begin{pmatrix} x(t)&=&R(\omega t+\sin \omega t \\  y(t)&=&-R(1-\cos \omega t) \end{pmatrix} \nonumber \end{eqnarray}$

Déterminer la résultante des forces $\overrightarrow{F}$ agissant sur ce point matériel de masse $m$.


Corrigé de l’exercice

Du mouvement à la force…

sos-mp.fr - Détermination de la résultante des forces - fleches

Pour accéder gratuitement au corrigé détaillé de l'exercice ci-dessus, cliquez ici.

Tous droits réservés
Ne pas vendre, ne pas céder, ne pas diffuser et ne pas copier cette correction sans autorisation.

Vous êtes enseignant et vous êtes intéressé par cette correction, contactez-moi.

Remarque :

Même s’il y a un méthodologie de résolution d’un problème de mécanique assez générale, avec des étapes définies à appliquer dans un certain ordre, elle nécessite parfois quelques adaptations.

∗ Le système étudié est le point matériel $\mathrm{M}$ de masse $m$.

∗ L’étude sera réalisée dans un référentiel $\mathfrak{R}$ supposé galliléen (le référentiel terrestre par exemple).

∗ Le référentiel $\mathfrak{R}$ sera muni d’un repère de coordonnées cartésiennes à deux dimensions d’origine $\mathrm{O}$ et de base $(\overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y})$ orthonormée directe.

∗ Ici, le schéma n’est pas bien utile. Nous aurions en effet qu’à tracer le repère précité.

∗ Dans le référentiel $\mathfrak{R}$ muni du repère $(\mathrm{O}; \overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y})$ le point $\mathrm{M}$ a pour coordonnées en fonction du temps (équations horaires) :

$\left\{\begin{eqnarray}x(t)&=&R(\omega t +\sin \omega t) \nonumber \\ y(t)&=&-R(1-\cos \omega t) \nonumber \end{eqnarray} \right.$

qui correspondent aux coordonnées du vecteur position $\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)$ que nous pouvons alors écrire sous la forme vectorielle :

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)=x(t)\overrightarrow{u_x}+y(t)\overrightarrow{u_y}=R(\omega t +\sin \omega t)\overrightarrow{u_x}-R(1-\cos \omega t)\overrightarrow{u_y}$

Nous lui préférerons néanmoins la forme scalaire suivante :

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t) \left\{\begin{eqnarray}x(t)&=&R(\omega t +\sin \omega t) \nonumber \\ y(t)&=&-R(1-\cos \omega t) \nonumber \end{eqnarray} \right.$

plus commode à manipuler.

∗ Les forces extérieures agissant sur le système ont une résultante $\overrightarrow{F}$ que nous devons déterminer.

∗  D’après la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) appliquée, dans $\mathfrak{R}$, au système, la résultante des forces extérieures s’exerçant sur le point matériel $\mathrm{M}$ de masse $m$ constante a pour expression:

$$\overrightarrow{F}=\sum \overrightarrow{F}_{ext}=m\cdot \overrightarrow{a}(t)$$

Donc pour pouvoir déterminer la résultante $\overrightarrow{F}$, il faut déterminer l’accélération $\overrightarrow{a}(t)$ du point $\mathrm{M}$ dans $\mathfrak{R}$.

Dans un premier temps, dérivons par rapport au temps le vecteur position du point $\mathrm{M}$ pour obtenir son vecteur vitesse. Puis, dans un deuxième temps, dérivons par rapport au temps le vecteur vitesse pour obtenir son vecteur accélération. Ainsi, dans $\mathfrak{R}$ :

$$ \overrightarrow{v}(t)=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)}{\mathrm{d}t} \iff \left\{\begin{eqnarray}v_x(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=R(\omega+\omega \cos \omega t) \nonumber \\ v_y(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=-R(\omega \sin \omega t) \nonumber \end{eqnarray} \right.  $$

puis

$$ \overrightarrow{a}(t)=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}(t)}{\mathrm{d}t} \iff \left\{\begin{eqnarray}a_x(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}v_x(t)}{\mathrm{d}t}=R(-\omega^2 \sin \omega t)=-R\omega^2\sin \omega t \nonumber \\ a_y(t)&=&\dfrac{\mathrm{d}v_y(t)}{\mathrm{d}t}=-R(\omega^2\cos \omega t)=-R\omega^2 \cos \omega t \nonumber \end{eqnarray} \right.  $$

Les coordonnées de la résultante $\overrightarrow{F}$ sont :

$$ \overrightarrow{F}(t)=m\cdot \overrightarrow{a}(t) \iff \left\{\begin{eqnarray}F_x(t)&=& m\cdot a_x(t)=-mR\omega^2\sin \omega t \nonumber \\ F_y(t)&=&m\cdot a_y(t)=-mR\omega^2 \cos \omega t \nonumber \end{eqnarray} \right.  $$

Nous venons de déterminer la résultante des forces agissant sur $\mathrm{M}$.

Écrivons-la aussi sous forme vectorielle :

$\overrightarrow{F}(t)=F_x(t)\overrightarrow{u_x}+F_y(t)\overrightarrow{u_y}=-mR\omega^2\sin(\omega t)\overrightarrow{u_x}-mR\omega^2 \cos (\omega t)\overrightarrow{u_y}$

On nous demandait de déterminer uniquement $\overrightarrow{F}$, mais rien ne nous empêche d’en déterminer aussi la norme:

$\begin{eqnarray}F=\left\|\overrightarrow{F}\right\|&=&\sqrt{F_x^2+F_y^2}\nonumber \\ &=&\sqrt{m^2R^2\omega^4\sin^2\omega t+m^2R^2\omega^4\cos^2\omega t} \nonumber \\ &=&\sqrt{m^2R^2\omega^4(\sin^2\omega t+\cos^2\omega t)}\nonumber \\ &=&\sqrt{m^2R^2\omega^4}\nonumber \\ &=&mR\omega^2 \nonumber \end{eqnarray}$

Remarquons que la norme de la résultante $\overrightarrow{F}$ ne dépend pas du temps alors que ces composantes $F_x$ et $F_y$ en dépendaient.


Si besoin, consultez les cours de BCPST1 de M Nicolas Clatin sur :


Complément :

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.