Il s’agit d’un exercice de calorimétrie typique où les transferts thermiques proviennent du milieu extérieur par l’intermédiaire d’une résistance chauffante (contrairement à l’exercice Méthode des mélanges où ils sont réalisés par mélange de phases à des températures différentes). C’est la calorimétrie par la méthode électrique. Le but est la détermination de la capacité calorifique (valeur en eau) du calorimètre.
Énoncé de l’exercice
– Méthode électrique –
On place dans un calorimètre une masse $M=500~\mathrm{g}$ d’eau que l’on chauffe à l’aide d’une résistance électrique alimentée par un courant continu d’intensité I=0{,}850~\mathrm{A}, sous une tension $V=220~\mathrm{V}$. Il en résulte un accroissement régulier de la température de l’eau de $4{,}86^{\circ}\mathrm{C}$ par minute.
En déduire la valeur en eau du calorimètre.
Corrigé de l’exercice
– Méthode électrique –
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Le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système fermé « purement » thermodynamique (c’est-à-dire globalement immobile) s’écrit
$$\Delta U=W+Q$$
où $\Delta U$ représente la variation d’énergie interne du système au cours de la transformation qu’il subit le menant de l’état initial à l’état final, $W$ représente le transfert d’énergie mécanique algébriquement reçue par le système ($W>0$ si le système reçoit l’énergie, $W<0$ si il la fournit) et égal au travail des forces de pression exercées par le milieu extérieur sur la surface du système et enfin où $Q$ représente le transfert d’énergie thermique (chaleur) algébriquement reçue par le système (id.).
Or le système thermodynamique étudié contenu dans le calorimètre est constitué uniquement d’une phase condensée, supposée indilatable et incompressible, donc de volume constant. Donc le travail des forces pressantes est nul : $W=0$ (puisque $V=\mathrm{cst} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}V=0 \quad \Rightarrow \quad \delta W=-P_\mathrm{ext}\mathrm{d}V=0 \quad \Rightarrow \quad W=0$).
De plus le système subit un transfert thermique de la part du milieu extérieur par l’intermédiaire d’une résistance chauffante. Puisque le système chauffe, $Q>0$. Étant donné que la puissance électrique de la résistance chauffante est $\mathcal{P}=U\cdot I$, le transfert thermique (reçu par le système) en $\Delta t=1~\mathrm{min=60~\mathrm{s}}$ s’exprime de la façon suivante
$$Q=\mathcal{P}\cdot \Delta t=U\cdot I\cdot \Delta t$$
D’où un premier principe qui s’écrit pour le système étudié
$$\Delta U=Q=U\cdot I\cdot \Delta t$$
Comme l’énergie interne est une fonction d’état extensive (que l’on considerera additive), on a :
$$U\left(\sum \mathrm{sous\mbox{-}systèmes}\right)=\sum U(\mathrm{sous\mbox{-}sytème})$$
Ainsi, subdivisons le système en sous-systèmes. On peut alors schématiser la transformation, se produisant à $P_{\mathrm{atm}}$, de la façon suivante :
État inial État final
Au transfert thermique reçu par le système $Q$ (défini plus haut) correspond une hausse de température de $4{,}86^{\circ}\mathrm{C}$.
On a
$$\Delta U=\Delta U_{\mathrm{calo}}+\Delta U_\mathrm{e}=U\cdot I\cdot \Delta t$$
où $\Delta U_{\mathrm{calo}}$ et $\Delta U_\mathrm{e}$ représentent respectivement les variations d’énergie interne du calorimètre et de la masse $M$ d’eau.
D’où
$$C_\mathrm{calo}(\theta_\mathrm{i}+4{,}86-\theta_\mathrm{i})+Mc_0(\theta_\mathrm{i}+4{,}86-\theta_\mathrm{i})=U\cdot I\cdot \Delta t \qquad (1)$$
Puisque la valeur en eau $\mu$ du calorimètre est reliée à sa capacité thermique par la relation $C_\mathrm{calo}=\mu c_0$, $(1)$ devient
$$4{,}86\mu c_0+4{,}86Mc_0=U\cdot I\cdot \Delta t$$
Ce qui nous permet d’exprimer $\mu$ :
$$\boxed{\mu=\frac{U\cdot I \cdot \Delta t}{4{,}86c_0}-M}$$
A.N. : $\displaystyle \mu=\frac{220\times 0{,}85 \times 60}{4{,}86\times 4{,}18\cdot 10^3}-0,500=0,052~\mathrm{kg}=52~\mathrm{g}$.
Si besoin, consultez les cours de BCPST1 de M Nicolas Clatin sur :