EPFL1 – Mécanique – À la poursuite : traversée en bateau et course à pied

Comme indiqué, cet exercice est difficile. Il nécessite tout d’abord de définir des grandeurs (car non définies dans l’énoncé) qui seront indispensables au traitement de la problématique. C’est la première difficulté. Ensuite, il nécessite une bonne maîtrise des projections ainsi que de la trigonométrie. Bien, alors allons-y !

Trajectoire de l’agent

Tout d’abord, il nous faut avoir une idée du parcours effectué par l’agent (pour pouvoir exprimer le temps de parcours puis le minimiser).

D’après l’énoncé, l’agent doit traverser la rivière, en partant d’un point, que nous nommerons $\mbox{A}$, et se rendre en face de son point de départ, en un point que nous nommerons $\mbox{B}$ (voir figure). Il est de plus précisé dans l’énoncé que la route doit comporter une partie en bateau et une autre à pied le long de la rive.

Les données

Ensuite, comme données numériques, nous avons :

• la largeur de la rivière, que nous nommerons $l$, et qui vaut $l=1600~\mbox{m}$ ;
• la vitesse du courant, que nous nommerons $\vec{v}_c$, telle que $v_c=|\vec{v}_c|=0{,}80~\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}$ ;
• la vitesse du bateau par rapport à l’eau, que nous nommerons $\vec{v}$ et telle que $v=|\vec{v}|=1{,}50~\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}$ ;
• la vitesse en course à pied par rapport à la rive, que nous nommerons $\vec{v}_p$ et telle que $\vec{v}_p$, avec $v=|\vec{v}_p|=3{,}00~\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}$.

Un schéma

Nous allons maintenant faire un schéma.

Vu le mouvement de l’agent, il paraît judicieux d’utiliser un repère cartésien à deux dimensions. Nous en choisirons l’origine en $\mbox{A}$ et les axes parallèlelement et perpendiculairement à la rive (voir figure suivante). Pour le choix de la direction du vecteur vitesse du bateau (imposée par l’agent en ramant) $\vec{v}$, on considère que l’agent a un peu de bon sens et que sachant qu’il y a du courant, il choisit de ramer avec une vitesse $\vec{v}$ dirigée comme indiqué sur le schéma, c’est-à-dire comportant une composante dans la direction du courant de la rivière mais de sens opposé à celui du courant, pour tenter de « compenser » la vitesse de l’eau (puisqu’il veut arriver en $\mbox{B}$ le plus rapidement possible). Néanmoins, pour traiter de manière générale et pouvoir considérer une portion de parcours sur la rive, nous supposerons qu’il accoste en un point qui n’est pas $\mbox{B}$ et que nous nommerons $\mbox{C}$.

Remarque : Notons que nous aurions pu choisir, pour faire le schéma, une direction du vecteur $\vec{v}$ totalement arbitraire, cela n’aurait pas changer le traitement.

Comme indiqué dans le rappel, le bateau se déplace par rapport à la berge avec une vitesse que nous noterons $\vec{v}’$ telle que $\vec{v}’=\vec{v}+\vec{v}_c$.

Nous avons donc le schéma suivant

Ainsi, en résumé, l’agent part en bateau du point $\mbox{A}$ avec une vitesse par rapport à l’eau $\vec{v}.$ Du fait du courant (de vitesse $\vec{v}_c$), il en résulte une vitesse du bateau $\vec{v}’$ par rapport à la rive. $\mbox{AC}$ représente donc le trajet en bateau. Il accoste donc en $\mbox{C}$ et lui reste à atteindre, en courant, le point $\mbox{B}$. $\mbox{CB}$ représente donc le trajet à pied le long de la rive.

Nous avons de plus introduit les angles $\alpha$ et $\beta$ permettant de repérer les directions successives des vecteurs $\vec{v}’$ et $\vec{v}$.

Le but de l’exercice est de minimiser le temps de parcours de l’agent. Il va donc falloir dans un premier temps exprimer le temps total, $t_{\mathrm{tot}}$, mis par l’agent pour effectuer ce parcours pour ensuite pouvoir le minimiser. Et il faudra exprimer ce temps en fonction des données de l’exercice, $v_c$, $v_p$, $v$ et $l$ ainsi qu’en fonction d’une variable par rapport à laquelle effectuer l’optimisation (minimisation). L’agent doit pouvoir agir sur cette variable (sinon, pas moyen d’optimiser). Le seul choix que peut faire l’agent concerne la direction du vecteur vitesse imprimé au bateau (sa norme est fixée et sons sens est trivial). La variable par rapport à laquelle l’optimisation se fera est donc $\beta$. Il nous faut donc exprimer ce temps de parcours en fonction aussi de $\beta$.

Allons-y !

Temps de parcours de l’agent

Le parcours se fait en deux étapes : 1) une traversée en bateau (avec la vitesse vectorielle $\vec{v}$) et 2) une course à pied (avec la vitesse vectorielle $\vec{v}_p$). Posons $t_1$, le temps de parcours de  1) et $t_2$, le temps de parcours de  2). Nous avons alors le temps de parcours total

$$t_{\mathrm{tot}}=t_1+t_2$$

$\triangleright$ Détermination de $t_1$

Nous avons

$$t_1=\frac{\mathrm{AC}}{v’}$$

Or d’après la figure suivante

nous pouvons écrire que

$$\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{l}{\mathrm{AC}} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{AC}=\frac{l}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{l}{\sin \alpha}$$

D’où

$$t_1=\frac{\mathrm{AC}}{v’}=\frac{\frac{l}{\sin \alpha}}{v’}=\frac{l}{v’\sin  \alpha}$$

Or, pour l’instant, $t_1$ est exprimé en fonction de $\alpha$, non de $\beta$. De plus, $v’$ n’est pas une donnée de l’énoncé. Il faut donc modifier l’expression de $t_1$ de manière à faire intervenir $\beta$ ainsi que $v_c$, $v_p$, $v$ ou $l$.

Nous pouvons par exemple utiliser la figure suivante et y appliquer la formule des sinus.

Ainsi, d’après la formule des sinus, nous avons

$$\frac{|\vec{v}|}{\sin \alpha}=\frac{|\vec{v}’|}{\sin (\pi-\beta)}\quad \Longleftrightarrow \quad \frac{v}{\sin \alpha}=\frac{v’}{\underbrace{\sin \beta}_{\mathrm{car} \sin (\pi-\beta)=\sin \beta}}\quad \Longleftrightarrow \quad v’\sin \alpha=v\sin \beta$$

D’où

$$\boxed{t_1=\frac{l}{v\sin \beta}}$$

$\triangleright$ Détermination de $t_2$

Nous avons

$$\displaystyle t_2=\frac{\mathrm{BC}}{v_p}$$

Exprimons $\mathrm{BC}$ en fonction des données et de $\beta$.

Dans un premier temps, toujours d’après la figure :

nous pouvons écrire

$$\tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\mathrm{BC}}{l} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathrm{BC}=l \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$$

Or

$$\displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1}{\tan \alpha}$$

d’où

$\displaystyle \mathrm{BC}=\frac{l}{\tan \alpha} \quad$ et $\quad \displaystyle t_2=\frac{l}{v_p \tan \alpha}$

Nous avons d’une part, par projection sur les axes du repère

$\displaystyle \vec{v}_c \binom{v_c}{0} \quad$, $\quad \displaystyle \vec{v}’ \binom{v’\cos \alpha}{v’\sin \alpha} \quad$ et $\quad \displaystyle \vec{v} \binom{v\cos \beta}{v\sin \beta}$

et d’autre part, puisque $\vec{v}’=\vec{v}+\vec{v}_c$, nous avons aussi

$\displaystyle \vec{v}’\binom{v \cos \beta + v_c}{v \sin \beta}$

Ainsi, en égalisant les deux expressions des coordonnées du vecteur $\vec{v}’$, nous obtenons le système

$\left\{\begin{eqnarray} v’ \cos \alpha&=&v \cos \beta + v_c \nonumber \\ v’ \sin \alpha&=&v \sin \beta  \nonumber \end{eqnarray} \right.$

Apparaissent dans les deux expressions précédentes, à la fois $\sin \alpha$ et $\cos \alpha$. Ainsi, en faisant le rapport de la deuxième sur la première, nous ferons apparaître $\tan \alpha$ dans le membre de gauche et, dans le membre de droite une expression ne dépendant que des données et de $\beta$.

Ainsi,

$$\frac{v’\sin \alpha}{v’ \cos \alpha}=\frac{v\sin \beta}{v\cos \beta +v_c}\quad \Longleftrightarrow \quad \tan \alpha=\frac{v\sin \beta}{v\cos \beta +v_c}$$

D’où,

$\displaystyle t_2=\frac{l}{v_p\tan \alpha}=\frac{l}{v_p\frac{v\sin \beta}{v\cos \beta +v_c}}\quad $, soit $\displaystyle \quad \boxed{t_2=\frac{l(v\cos \beta+v_c)}{v_pv\sin \beta}}$

On obtient finalement

$$t_{\mathrm{tot}}=t_1+t_2=\frac{l}{v\sin \beta}+\frac{l(v\cos \beta+v_c)}{v_pv\sin \beta}\quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{t_{\mathrm{tot}}=\frac{l}{v}\left(\frac{v_p+v\cos \beta + v_c}{v_p \sin \beta}\right)} $$

$t_{\mathrm{tot}}$ est bien fonction de  $\beta$. Toutes les autres grandeurs, $l$, $v$, $v_p$ et $v_c$ sont des données.

Trouver le temps de parcours minimum revient donc à déterminer le minimum de la fonction $t_{\mathrm{tot}}(\beta)$. Pour cela dérivons-la :

$$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}t_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}\beta}&=&\frac{l}{v}\frac{(-v\sin \beta)(v_p\sin \beta)-(v_p+v\cos \beta +v_c)(v_p\cos \beta)}{(v_p\sin \beta)^2} \nonumber \\ &=& \frac{l}{v}\frac{-vv_p\sin^2\beta-v_p^2\cos \beta-vv_p\cos^2\beta-v_cv_p\cos \beta}{(v_p\sin \beta)^2}\nonumber \\ &=& \frac{l}{v}\frac{-vv_p(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)-(v_p^2+v_cv_p)\cos \beta}{(v_p\sin \beta)^2} \nonumber \\ &=& \frac{l}{v}\frac{-vv_p-(v_p^2+v_cv_p)\cos \beta}{(v_p\sin \beta)^2} \nonumber \end{eqnarray}$$

On sait que $t_{\mathrm{tot}}(\beta)$ présente un extremum (min. ou max.) si et seulement si $\displaystyle \frac{\mathrm{d}t_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}\beta}=0$.

Or

$\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}t_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}\beta}=0 \quad &\Longleftrightarrow& \quad vv_p+(v_p^2+v_cv_p)\cos \beta=0 \nonumber \\ &\Longleftrightarrow& \quad v+(v_p+v_c)\cos \beta=0 \nonumber \\ &\Longleftrightarrow& \quad \cos \beta=-\frac{v}{v_p+v_c} \qquad \qquad (1) \nonumber \end{eqnarray}$

$t_{\mathrm{tot}}(\beta)$ présente donc bien un extremum. Est-ce un minimum ou un maximum. Le tracer de la courbe de la fonction $t_{\mathrm{tot}}(\beta)$ confirme qu’il s’agit bien d’un minimum.

La résolution de l’équation précédente donne l’ensemble de solution

$\left\{\begin{eqnarray}\beta&=&\arccos \left(-\frac{v}{v_p+v_c}\right)+2k\pi \nonumber \\ \beta&=&-\arccos \left(-\frac{v}{v_p+v_c}\right)+2k\pi \nonumber \end{eqnarray} \right. \quad$, $k \in \mathbb{Z}$

A.N. : Nous avons $\displaystyle \arccos \left(-\frac{v}{v_p+v_c}\right)=\arccos\left(-\frac{1{,}5}{3{,}0+0{,}8}\right)=1{,}98~\mathrm{rad}$.

Or, par définition du problème, $\beta \in [0; \pi]$, donc l’unique solution de l’équation $(1)$ est $\beta=1{,}98~\mathrm{rad}$, soit $\beta=113{,}2~^\circ$.

Nous obtenons alors

$\displaystyle t_1=\frac{l}{v\sin \beta}=\frac{1600}{1{,}5\sin \beta}=1161{,}0~\mathrm{s}$

$\displaystyle t_2=\frac{l(v\cos \beta + v_c)}{v_pv\sin \beta}=\frac{1600(1{,}5\cos \beta + 0{,}8)}{3\times 1{,}5 \sin \beta}=80{,}5~\mathrm{s}$.

D’où $t_{\mathrm{tot}}=t_1+t_2=1161{,}0+80{,}5=1241,5~\mathrm{s}=20~\mathrm{min}~41~\mathrm{s}$.