Le but de l’exercice est de déterminer la position d’entrée dans l’eau d’une maître nageuse lui permettant d’atteindre un baigneur en difficulté le plus rapidement possible.
Il s’agit d’un problème d’optimisation.
Énoncé de l’exercice
– Sauvetage en mer –
Coraline, maître nageuse surveillant la plage, aperçoit un baigneur en train de se noyer. Le baigneur se trouve à une distance $d$ du bord de l’eau (cf. schéma ci-dessous). Coraline court parallèlement au bord de l’eau à une vitesse $v_1$ et elle nage à une vitesse $v_2$ ($v_1$ et $v_2$ sont des constantes).
1) Justifier que les deux parties du trajet de Coraline (sur la plage et dans l’eau) doivent être rectilignes.
2) Déterminer la position du point $\mathrm{P}$, en lequel Coraline doit entrer dans l’eau pour atteindre le plus vite possible le baigneur en difficulté.
3) A.N. : $v_1=20~\mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}$ ; $v_2=5~\mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}$ ; $l_0=\mathrm{OH}=200~\mathrm{m}$ ; $d=50~\mathrm{m}$. En déduire la valeur de $\mathrm{OP}$.
4) Quelle est l’analogie fondamentale de cet exercice avec l’optique ?
Corrigé de l’exercice
– Sauvetage en mer –
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Complément sur le problème de la courbe brachistochrone :