Dans cet exercice, en étudiant l’équation paramétrique (en fonction du temps) d’une trajectoire en coordonnées cartésiennes (autrement dit les équations horaires du mouvement), nous démontrerons qu’elle est la combinaison (ou superposition) d’un mouvement circulaire et d’un mouvement rectiligne. Puis nous déterminerons l’équation paramétrique de la trajectoire en coordonnées cylindrique.
Énoncé de l’exercice
– Équation paramétrique d’un mouvement –
Un point matériel décrit une trajectoire d’équation paramétrique en coordonnées cartésiennes:
$\begin{eqnarray} \mathrm{M} \begin{pmatrix} x=r\cos(\omega t) \\ y=r\sin(\omega t) \\ z=kt \end{pmatrix} \quad \mbox{où $r$, $\omega$ et $k$ sont des constantes} \nonumber \end{eqnarray}$
1) Justifier que le mouvement de $\mathrm{M}$ est la superposition d’un mouvement circulaire uniforme dans le plan $x\mathrm{O}y$ et d’un mouvement rectiligne et uniforme selon $z$.
2) Représenter l’allure de la trajectoire en précisant ses caractéristiques.
3) Donner l’expression de la norme de la vitesse à l’instant $t$, notée $v$.
4) Déterminer l’équation paramétrique de cette trajectoire en coordonnées cylindriques. Que vaut alors $v$ ?
Corrigé de l’exercice
– Équation paramétrique d’un mouvement –
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